натуральном ряду. Чисел же трансцендентных неизмеримо, качественно 'больше'. Их множество несчетно и, как говорят в таких случаях, имеет мощность континуума (т.е. трансцендентных чисел 'столько же', сколько точек на непрерывной прямой). Возможность что-то пронумеровать – верный признак логичности, о чем же тогда свидетельствует отсутствие подобной возможности?
В прежней среде действительных чисел, но по-новому, была по сути развернута интеллектуальная драма, сходная с той, что некогда произошла при первой исторической встрече с иррациональными числами. К счастью, во второй раз математики оказались более подготовленными в морально-психологическом плане. Посмотрим, что у нас осталось в итоге.
Числа действительные (иначе их называют вещественными) делятся, во-первых, на рациональные и иррациональные, во-вторых, – на алгебраические и трансцендентные. В обоих случаях речь идет о характерной оппозиции: за числами одного сорта признается качество своеобразной 'логичности', за числами другого сорта – нет. Сравнение в обоих контрастных противопоставлениях производится попарно, т.е. кратность отношений двойная, n = 2. Если свести вместе обе классификации, построенные над полем действительных чисел, то получится, что последнее состоит из чисел рациональных (целых и дробных), алгебраических иррациональных (наподобие v2) и трансцендентных. Их разделение фиксирует скачкообразное убывание специфической 'логичности' (мы уже знаем, в каком смысле). Изобразим классификацию на рисунке:
Почему в итоге получилось три непересекающихся класса действительных чисел, т.е. почему М = 3? – Во-первых, в системе задано бинарное отношение сравнения ( n = 2 ); во- вторых, совокупность названных классов мыслится в качестве законченной и целостной. Откуда нам известно последнее? – От самих математиков, ибо они доказали так называемую теорему о полноте, утверждающую, что других классов действительных чисел не существует, сюрпризы с появлением новых не повторятся.
Наверное, стоит извиниться перед читателем за столь длинный и сложный пример, но все же он, надеюсь, короче, чем сама эта история длиной в 2,5 тысячи лет. Данным пассажем можно было бы и пренебречь, но беда в том, что впоследствии (в главе 3) нам еще придется встретиться с иррациональными числами и оттого неплохо бы знать, что за ними стоит. Пока же, коль все равно затрачены время и силы, грех не воспользоваться этим и не сформулировать некоторые полезные выводы, которые пригодятся для понимания и других паттернов.
Во-первых, мы имели случай лишний раз убедиться, что предлагаемая модель – элементарно-математическая по форме, культурологическая по функции – способна работать 'поверх' (или 'из-под низа') достаточно сложного концептуального материала. Простейшие числа – два и три – справляются с описанием итога длительной работы перворазрядных ученых, причем в данном примере – как раз в области чисел.
Во-вторых, хотелось дать получше почувствовать одну из особенностей нашей модели: она дескриптивна, мы не затронули и тысячной доли содержательного богатства идей упомянутых ученых (как ранее не пытались всерьез выяснить, что представляют собой, скажем, тело-душа-дух или небо-земля-преисподняя). В специальные работы мы практически не вникали, интересуясь лишь 'сухим остатком' (для нас это количество элементов). Тем не менее наши выводы совпали с положениями самой математической науки.
В-третьих, небесполезно нагляднее показать не только подспудность схемы n = 2, М = 3, но и драму ее воплощения. Сейчас трудно установить, сколько тысячелетий или десятков тысячелетий потребовалось человеку, чтобы прийти к трехсоставности мироздания, трем лицам, трем временам и т.д., но исторические факты из последнего примера предоставляют шанс догадаться, сколько усилий стоит за подобными, казалось бы тривиальными, вещами. Как после этого мы должны к ним относиться? Достаточно ли мы их ценим?
Наконец, возник повод на новом материале напомнить о принципиальной неотделимости чисел и науки о них от мифологической подоплеки. Флером неизбывной загадочности окутано не только их первоначальное происхождение, но пуповина не была и не будет перерезана никогда. Это касается не только ранних, исторически не вполне достоверных этапов развития: у египетских жрецов, халдейских магов, индийских и китайских мудрецов, у склонных к мистериям пифагорейцев. Впоследствии получили широкую известность и веками тревожили воображение математиков задачи о трисекции угла, удвоении куба, квадратуре круга (и обратно: циркулятуре квадрата). Окончательно с ними разобрались сравнительно недавно, в прошлом веке, и, как выяснилось, проблемы непосредственно связаны с иррациональными и трансцендентными числами. Значение таких задач, как считалось, выходит далеко за границы математики, затрагивая саму тайну жизни и спасения,(15) что можно сравнить разве что с ролью философского камня и гомункулуса у средневековых алхимиков. Многозначительные предания складывались и вокруг не столь отдаленных математических событий. Вероятно, самое яркое из них – о большой, или великой, теореме Ферма, теснейшим образом связанной с соизмеримостью и несоизмеримостью чисел. Вокруг нее периодически поднимается ажиотаж, особенно на переломных исторических отрезках.
О мифологических или легендарных моментах в своей науке современные математики если и говорят, то не без застенчивости и главным образом в кулуарах: дисциплина требует точности и обязательности, а не игривости. Но подобная пуристская поза имеет и изнанку: в отличие от прежних эпох, между числом и мифом, вообще 'живою культурой' возведена китайская или берлинская стена. Гуманитарии платят математикам (представителям точных наук) той же монетой, обороняя от них собственную заповедную вотчину, что становится одной из неотъемлемых черт трагедии современного духа, т.е. попросту отсутствия взаимного понимания, ментальной расщепленности.
В заключение экскурса по математике приведем (без обсуждения) еще одну тройку. Наряду с действительными числами, о которых речь только что шла, со школы известны и комплексные. В 1843 г. ирландец У.Гамильтон открыл еще один тип – кватернионы (записывающиеся в виде
Тринитарные структуры широко распространены и в социальной области. В современных развитых странах принято различать
Раскрывая генезис названного членения, специалисты по ХХ в. обращают внимание, что еще в начале столетия осевой линией социального напряжения был конфликт между богатством и бедностью и что лишь десятилетия последовательных усилий правительств позволили сформировать представительный средний класс, превратившийся в залог общей стабильности. Мало того, и век, и даже полвека назад в массовом сознании доминировала иная, 'марксистская' схема членения. Потребовались настойчивая пропагандистская работа и целый ряд реформационных шагов, чтобы внушить народам веру в справедливость чисто денежного подхода, утвердить стандарты общества потребления. Усилия увенчались успехом, и пропасть между богатыми и бедными заполнилась многочисленным средним классом, подставившим плечо системе в целом, разделившим с богатыми заинтересованность в сохранении status quo (поэтому подобное устройство зачастую называют 'обществом двух третей'). При этом и бедные – за исключением политических маргиналов – в большинстве признают обязательность общей картины, т.к. проникнуты той же консюмеристской идеологией.
Причины бедности как явления, т.е. причины существования бедного класса, обычно ищут в сфере позитивных фактов: в особенностях института собственности, системы оплаты труда, в несовершенстве социальных программ, дефектах воспитания и образования рекрутов бедности и даже во врожденных психологических чертах, не исключая национальной и расовой принадлежности. На наш взгляд, нет ничего более далекого от существа вопроса. Названные и подобные им обстоятельства в состоянии дать лишь одно объяснение: почему именно эти, а не иные, субъекты (индивиды, группы) оказались среди бедных, тогда как прочие вкушают достаток или богатство. Сам факт наличия бедного класса такими подходами если и затрагивается, то только по касательной: ведь если данному субъекту и удастся преодолеть предпосылки собственной бедности, в ряды бедных непременно попадет другой. Феномен бедности неискореним по совершенно отличной причине.
Его корни, так сказать, в головах, в организующей силе самой идеологии потребления, побуждающей людей делиться по толщине кошелька, согласно ординарному критерию 'больше/меньше', n = 2. Если общество признается при этом целостным – а это также удается внушить: 'Мы – одна нация', – то социальных классов автоматически три, и значит, один из них неизбежно подпадает под рубрику бедного. Технологический прогресс, повышение ВНП на душу населения без смены самой парадигмы в состоянии повлиять разве что на конкретные признаки бедности: очевидно, что уровень жизни, скажем, американских бедных вполне сравним, если не выше, чем у
