Едва ли не первой открытой иррациональностью явился
Вслед за иррациональностью
Появление иррациональностей означало для неокрепшей греческой математики одновременное появление серьезных трудностей как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане. Была фактически поставлена под удар вся теория метрической геометрии и теория подобия. Но коль скоро открытие иррациональности показало, что совокупность геометрических величин (например отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, то представилось целесообразным это более общее исчисление строить в геометрической форме. Это исчисление было создано; в литературе оно получило название геометрической алгебры.
Первичными элементами геометрической алгебры являлись отрезки прямой: работой с ними были определены все операции исчисления. Сложение интерпретировалось приставлением отрезков, вычитание – отбрасыванием от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Умножение отрезков приводило к построению двумерного образа; произведением отрезков
Однако довольно быстро выявилась ограниченность области применения методов геометрической алгебры. Средствами построения являлись только циркуль и линейка, и хотя можно представить себе операции с трехмерными образами, но даже такая простая, казалось бы, задача, как построение куба с объемом вдвое больше данного, не поддавалась решению с помощью циркуля и линейки. Задачи же, приводящиеся к уравнениям степени выше третьей, оказывались в геометрической алгебре просто невозможными.
Среди других задач, не имевших решения этими методами, наиболее известны проблемы трисекции угла и квадратуры круга.
История задачи об удвоении куба – пример того, как происходит обогащение математических методов. Из-за этой задачи
Позже, с развитием алгебры, постановка задачи приобрела алгебраическую форму: может ли операция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к конечному числу извлечений квадратного корня? Сомнение в возможности такого решения задачи высказал впервые в 1637 году Декарт. Но только еще через 200 лет задача удвоения куба получила окончательное разрешение. В 1837 году Ванцель доказал, что кубические иррациональности не принадлежат ни полю рациональных чисел, ни его расширению посредством присоединения квадратичных иррациональностей.
Второй знаменитой задачей античной древности была задача о трисекции угла, то есть о разделении произвольного угла на три равные части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к решению кубического уравнения. Поэтому для нас полностью понятно, что многочисленные попытки произвести трисекцию угла с помощью только циркуля и линейки не могли быть успешными.
Трисекция угла имела столь же длинную историю, как и удвоение куба. Сведение ее к кубическому уравнению было осознано только в IX-Х веках н. э.
Третьей из знаменитых задач древности является квадратура круга, задача об отыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Эту задачу в византийской античности рассматривали в обоих аспектах: точном и приближенном. Последний подход привел к введению приближения площади круга вписанными или описанными многоугольниками и к приближенным вычислениям числа «пи», но огромное количество попыток точно квадрировать круг к успеху привести не могли вследствие трансцендентной природы задачи.
Решение проблемы растянулось на много веков. Только в конце XVIII века И. Ламберт и А. Лежандр сумели доказать, что число «пи» не является рациональным числом. Трансцендентность же этого числа, то есть тот факт, что оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, была доказана в 1882 году Линдеманом.
Византийские математики эллинского периода, стремившиеся теоретически точно решить задачу о квадратуре круга, этого, разумеется, не знали. Но их усилия принесли развитию математики большую пользу, обогатив ее новыми фактами и методами. Так, был разработан метод исчерпывания, являвшийся предшественником метода пределов. Были введены различные трансцендентные кривые. Наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями.
Появление иррациональностей обусловило необходимость создания общей теории отношений, способной дать определения и ввести операции, применимые как для рациональных, так и для иррациональных величин. Первоначальной основой этой теории стал алгоритм попеременного вычитания, известный как алгоритм Евклида.
В случае, если члены отношения соизмеримы, то алгоритм обрывается. Несоизмеримость не дает конечного алгоритма.
Однако попытка ввести операции над отношениями, определенными таким образом, сразу встретила серьезные математические трудности. Например, чтобы ввести умножение отношений, надо было найти способ определения неполных частных непрерывной дроби – произведения через неполные частные непрерывных дробей-сомножителей. Для этого и в наше время не существует никакой сколько-нибудь элементарной формулы. Наконец, в то время не существовало еще общего понятия величины. В силу этих обстоятельств алгоритм Евклида не сделался основой теории отношений.
На этом примере видно, что математические теории прошлого имеют зачастую много общего с современными математическими теориями. Однако надо учиться выделять специфику их исторического развития, чтобы не впадать в одну из двух ошибок: отождествления прошлого с настоящим или нигилистического отрыва настоящего от прошлого, того отрыва, который делает исследователя слепым перед контурами будущего.
Попытки систематизировать полученные при решении различных конкретных задач результаты предпринимались в византийской математике неоднократно. И успех, в отличие от других областей естествознания, был достигнут в математике потому, что она уже достаточно далеко ушла от реальности и научилась вычленять идеальные объекты и работать с ними. Что интересно, логика работала только в математике; когда хотели ее применить к обычной жизни, тут же сталкивались с различными противоречиями.
Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы математического доказательства были основными причинами того, что математика стала излагаться как дедуктивная наука, представляющая логическую последовательность теорем и задач на построение и использующая минимум исходных положений. Сочинения, в которых в то время излагались первые системы математики, назывались «Началами».
Первые «Начала», о которых дошли до нас сведения, приписываются Гиппократу Хиосскому. Встречаются упоминания и о «Началах», принадлежащих другим авторам. Однако все эти сочинения оказались забытыми и утерянными практически с тех пор, как появились «Начала» Евклида, которые получили всеобщее признание как система математических знаний, логическая строгость которой
