Математика. Поиск истины.

перпендикуляром PD угол A, называются параллельными, а сам угол A называется углом параллельности. Прямые, проходящие через точку P и не пересекающиеся с прямой AB, но отличные от параллельных p и q, называются расходящимися с прямой AB или сверхпараллельными ей (с точки зрения Евклида это прямые, параллельные прямой AB). В этом смысле в геометрии Лобачевского существует бесконечно много параллельных, проходящих через точку P.

Рис. 34.

Далее Лобачевский доказывает несколько ключевых теорем. Если A = ?/2,  то получается аксиома Евклида о параллельных. Если угол A — острый, то при a, стремящемся к нулю, A возрастает до ?/2, а при неограниченном возрастании a убывает до нуля. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше 180° и стремится к 180° с уменьшением площади треугольника. Два подобных треугольника в геометрии Лобачевского непременно конгруэнтны.

Но, пожалуй, самое главное состоит в том, что неевклидова геометрия пригодна для описания свойств физического пространства ничуть не в меньшей мере, чем евклидова геометрия. Необходимость евклидовой геометрии как геометрии физического пространства ниоткуда не следует, ее физическая истинность не может быть гарантирована на основе априорных соображений. К пониманию этого немаловажного обстоятельства, не требующему никаких чисто математических доказательств, ибо все уже было сделано раньше, первым пришел Гаусс.

Но не так-то легко расстаться с накопленным ранее богатством. По-новому взглянув на природу истинного в математике, Гаусс увидел ту опору, за которую можно ухватиться. В письме Генриху В.М. Ольберсу (1758-1840) от 28 апреля 1817 г. Гаусс сообщал:

Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто и a priori, а скорее с механикой.

([23], с. 103.)

Гаусс в отличие от Канта не считал законы механики априорными истинами. Он, как и многие другие, разделял взгляды Галилея, считавшего, что законы механики выводятся из опыта. Гаусс утверждал, что истина лежит в арифметике и, следовательно, в алгебре и анализе, построенных на арифметике, ибо арифметические истины интуитивно ясны нашему разуму.

Лобачевский также размышлял над применимостью своей геометрии к физическому пространству и доказал, что она применима к очень большим геометрическим фигурам. Таким образом, к 30-м годам XIX в. неевклидова геометрия не только получила признание, но и ее применимость к реальному физическому пространству была обоснована.

На протяжении примерно тридцати лет после публикации работ Лобачевского и Бойаи математики игнорировали неевклидову геометрию, видя в ней своего рода логический курьез. Некоторые из них даже не отрицали логической непротиворечивости новой геометрии. Другие были убеждены, что в неевклидовой геометрии непременно должны быть скрыты какие-то противоречия, и на этом основании считали ее бессмысленной. И почти все математики выражали уверенность, что геометрия реального пространства, настоящая геометрия (не то что всякие выдумки), — это геометрия Евклида. Уильям Р. Гамильтон (1805-1865), несомненно, один из самых выдающихся математиков своего времени, в 1837 г. так выразил свое неприятие неевклидовой геометрии:

Ни один честный и здравомыслящий человек не может усомниться в истинности главных свойств параллельных в том виде, как они были изложены в «Началах» Евклида две тысячи лет назад, хотя вполне мог бы желать увидеть их изложенными более просто и ясно. Геометрия Евклида — не содержит неясностей, не приводит мысли в замешательство и не оставляет разуму сколько- нибудь веских оснований для сомнения, хотя острый ум извлечет для себя пользу, пытаясь улучшить общий план доказательства.

([13], с. 113.)

Выступая в 1883 г. перед Британской ассоциацией содействия развитию наук, ее президент Артур Кэли (1821-1895) по существу поддержал точку зрения Гамильтона:

По моему мнению, двенадцатая аксиома Евклида [называемая также пятым постулатом, или аксиомой о параллельности] в форме Плейфера не требует доказательства, но является составной частью нашего представления о пространстве, физическом пространстве нашего опыта, с которым каждый знакомится на своем опыте, — представления, лежащего в основе всего нашего опыта… Утверждения геометрии не являются лишь приближенно истинными. Они остаются абсолютно истинными в отношении той евклидовой геометрии, которая так долго считалась физическим пространством нашего опыта.

([13], с. 113.)

Примерно тех же взглядов придерживался крупнейший математик второй половины XIX — начала XX вв. Феликс Клейн (1849-1925). Хотя Кэли и Клейн сами работали над неевклидовыми геометриями (как мы увидим далее, существуют несколько неевклидовых геометрий), они рассматривали предмет своих исследований как некие новации, возникающие при введении в евклидову геометрию новых искусственных метрик — функций, задающих расстояние между двумя точками. Ни Кэли, ни Клейн не признавали за неевклидовой геометрией той фундаментальности и применимости к реальному миру, какая приписывалась евклидовой геометрии. Впрочем, до создания теории относительности их позиция была вполне объяснима.

Математики, как это ни печально, «отвернулись от бога», и всемогущий геометр не захотел открывать им, какую из геометрий он избрал за основу при сотворении мира. При выяснении этого вопроса математикам пришлось полагаться только на собственные силы. Существование нескольких альтернативных геометрий само по себе явилось для математиков сильнейшим потрясением, но еще большее недоумение охватило их, когда они осознали, что невозможно с абсолютной уверенностью отрицать применимость неевклидовой геометрии к физическому пространству.

Проблема выбора геометрии, наиболее соответствующей реальному физическому пространству, первоначально поставленная в работах Гаусса, способствовала рождению еще одного творения человеческой мысли, убедившего математический мир, что геометрия физического пространства может быть неевклидовой. Автором новых идей был Георг Бернхард Риман (1826-1866), ученик Гаусса, ставший впоследствии профессором Гёттингенского университета. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были известны Риману в деталях, о них был великолепно осведомлен Гаусс, и Риман, несомненно, знал о сомнениях Гаусса относительно того, в какой мере истинна и насколько применима к физическому пространству евклидова геометрия.

Гаусс проложил дорогу поразительным идеям Римана, высказав еще одну революционную мысль. Обычно мы изучаем геометрию на поверхности сферы, считая последнюю частью трехмерного евклидова пространства и тем самым заранее исключая любые радикально новые идеи. Но предположим, что мы рассматриваем поверхность сферы как пространство само по себе и строим геометрию такого пространства.