«В области общей теории относительности, где отклонения от 'евклидовости' могут быть сколь угодно велики... возможности измерения еще более ограничены, чем можно заключить из квантово-механических перестановочных соотношений» и «без глубокой переработки классических понятий кажется едва ли возможным распространить квантовую теорию гравитации также и на эту область» [30, с. 276] .
Именно так впервые были обнаружены границы применимости общей теории относительности — неквантовой релятивистской теории гравитации.
Само существование таких границ предвиделось и раньше — вспомним замечание Эйнштейна 1916 г. о том, что квантовая теория должна модифицировать теорию гравитации, неудовлетворенность Эйнштейна тем, что «линейки и часы», используемые в построении ОТО, рассматривались безо всякого учета их микроскопического строения, упоминавшееся замечание Клейна 1927 г. Однако все такие соображения имели логический или методологический характер. Бронштейновский анализ проведен на физическом, количественном языке.
в) Планковские масштабы в cGh-физике. Нынешнему читателю в этом анализе не хватает только так называемых планковских величин, которые в наши дни появляются во всяком обсуждении квантовых границ ОТО. Эти величины представляют собой комбинации из фундаментальных констант с, G и h вида
и могут иметь любые размерности (длины, времени, плотности и т. д.). Именно планковские величины сопоставляются границам ОТО, обусловленным необходимостью ее квантового обобщения.
При этом аргументы, приводимые в обоснование, весьма различны — от эскизов будущей теории квантовой гравитации до соображений размерности. А так как последние не требуют каких-либо сложных построений, можно предположить, что квантово-гравитационная роль планковских величин была известна очень давно, чуть ли не самому Планку [124—125].
(использованы современные обозначения и величины констант). Выпишем еще выражение для планковской плотности
Однако в действительности эти величины Планк ввел, безо всякой связи с квантовой гравитацией, в 1899 году, когда еще не было и самой квантовой теории. Он предложил «естественные единицы измерения», которые «обязательно сохраняли бы свое значение для всех времен и для всех культур, в том числе и внеземных и нечеловеческих» [254, с. 232]:
определяющей квантово-гравитационную эпоху в космологии.
В явном виде на квантово-гравитационное значение планковских величин было указано лишь в середине 50-х годов почти одновременно несколькими физиками — О. Клейном, Л. Д. Ландау, В. Паули и Дж. Уилером (об истории планковских величин см. [168, гл. 5]). Однако неявно такие величины есть, конечно, уже у Бронштейна, поскольку в его анализ вовлечены все три константы: с, G и h. Его рассуждения легко дополнить так, чтобы планковские величины возникли и явным образом. Собственно, одна такая величина — планковская масса — появилась уже в тексте Бронштейна. Это та самая «пылинка, весящая сотую долю миллиграмма», для которой неопределенности (7) и (8) имеют одинаковый порядок (в статье [30] выписано даже явное выражение для планковской массы).
Тогда границы (7), (8) превращаются в
Чтобы планковские величины «проявились», можно рассуждать так. Будем стремиться измерять гравитационное поле не только с наименьшей неопределенностью, но и в наименьшем возможном объеме, стремясь определить «поле в данной точке». Тогда уже придется рассматривать обе границы (7), (8), а не только первую из них. Для уменьшения неопределенности Г100 надо использовать максимальную возможную плотность пробного тела; в силу (12) это
При этом соответствующие размеры пробного тела
и, наконец, минимальная неопределенность напряженности гравитационного поля Г
По самому смыслу измерения напряженности, усредненной за промежуток времени Т, должно выполняться условие At<T. Поэтому при данном Т следует стремиться к наименьшему возможному At. Так как т1 уменьшается с уменьшением V, а т2 растет, минимальное значение наибольшей из величин т1, т2 достигается при т1=т2. Тогда
Если же мы учтем, что неопределенность в измерении гравитационного поля следует оценивать по суммарному воздействию на пробное тело — работе напряженнос1т/и3 на расстоянии порядка размеров тела Ag=Ar-V13 (эта же величина описывает неопределенность метрики), то получим
Таким образом, область применимости классической теории гравитации и пространства-времени ограничивается действительно планковскими величинами.
Чтобы получить планковские масштабы для квантово-гравитационных явлений, не обязательно привлекать анализ измеримости, как Бронштейн в 1935 г., или фейнмановский интеграл, как Уилер в 1955 г. Достаточно простейшим способом ввести в рассмотрение константы с, G и h. Можно это сделать уже на уровне физики 1913 г. Рассмотрим две точечные частицы массы М, связанные гравитационным взаимодействием и движущиеся по круговой орбите радиуса R. Подчиним эту систему классической механике Ma=Mv2/R— =GM2/(2R)2 и квантовому постулату Бора 2MvR=nh, n=1, 2,... Чтобы выяснить, при каких значениях параметров Ми R описание системы должно существенно учитывать квантово- релятивистские эффекты, нужно положить, что п достаточно близко к единице и скорость v достаточно близка к скорости света с. Тогда легко получить, что квантово-гравитационной области соответствует одновременная близость М и R к планковским значениям. Однако при этом глубокий пространственно- временной смысл cGh-границ остается, конечно, незаметным.
г) Восприятие квантово-гравитационных границ. Если бы даже в 30-е годы были известны планковские характеристики квантово-гравитационных границ, решиться т-3о3гда гово-р5ить о н1и9х было нелегко. Ведь величины 10-33 см и 10-5 г (=1019 ГэВ) фантастически далеки от насущных для физики того времени величин ядерных масштабов 10-13 см и 1 ГэВ.
Вот что писал в 1930 г. Гейзенберг: «Часто высказывается надежда, что квантовая теория после разрешения только что названных проблем [связанных с релятивистской формулировкой квантовой теории], может быть, снова будет в значительной степени сведена к классическим понятиям. Но даже поверхностный взгляд на развитие физики за последние тридцать лет показывает нам, что скорее, наоборот, можно ожидать еще более широких ограничений классического мира понятий. В добавление к изменениям нашего обыкновенного пространственно-временного мира, которые были потребованы теорией относительности и для которых характерна постоянная с, и к соотношениям неопределенности квантовой теории, символом которых может служить планковская постоянная h, появятся еще другие ограничения, стоящие в связи с универсальными постоянными е, ц [масса электрона], М (масса протона)» [158, с. 79].
Это высказывание вполне отражало общественное мнение в физике 30-х годов. Если же в прогнозе Гейзенберга вместо е, ц, M подставить G, то это едва ли нашло бы сочувствие у кого-нибудь в те годы. В частности, потому, что тогда не было идей,-3к3оторые мо-1г3ли хотя бы эскизно соединить величины 10-33 см и 10-13 см (такие идеи появились только совсем недавно [262]). Но, как следует из бронштейновского анализа и в соответствии с общим взглядом на теоретическую физику через магический cGh-куб (см. разд. 5.3), для замены набора с, h, е, ц, М на с, G, h основания были.
Видя эти основания и доверяя своему зрению, Бронштейн в подробном изложении своей работы [31] уточнил, глубокая переработка каких понятий потребуется в полной квантовой теории гравитации:
«Устранение связанных с этим [с принципиально ограниченной измеримостью гравитационно- геометрических величин] логических противоречий требует радикальной перестройки теории и, в частности, отказа от римановой геометрии, оперирующей, как мы здесь видим, принципиально не
