Семантическая концепция истины и основания семантики

Однако само решение проблемы никоим образом не очевидно, и я не смог бы сформулировать его во всех деталях, не обращаясь к аппарату современной логики. Здесь я ограничусь кратким очерком этого решения и обсуждением некоторых моментов, связанных с ним и имеющих более общий интерес.

Решение оказывается иногда положительным, а иногда отрицательным. Это зависит от некоторых формальных отношений между объектным языком и его мета-языком или, говоря более конкретно, от того, является ли мета-язык в своей логической части существенно богаче объектного языка или нет. Нелегко сформулировать общее и точное определение понятия быть существенно богаче. Если мы ограничиваемся языками, опирающимися на логическую теорию типов, то быть существенно богаче для мета-языка означает содержать переменные более высокого логического типа, чем переменные объектного языка.

Если условие быть существенно богаче не выполнено, то обычно можно показать, что возможна интерпретация мета-языка в объектном языке. Это означает, что любому термину мета-языка можно сопоставить вполне определенный термин объектного языка, так что утверждаемые предложения одного языка оказываются соотнесенными с утверждаемыми предложениями другого языка. В итоге рушится предположение о том, что в мета-языке можно сформулировать удовлетворительное определение истины, так как благодаря этой интерпретации оказывается возможным реконструировать антиномию лжеца.

(Тот факт, что в своей внелогической части мета-язык обычно шире объектного языка, не влияет на возможность интерпретации первого во втором. Например, в мета-язык входят имена выражений объектного языка, хотя чаще всего они не встречаются в самом объектном языке, однако может существовать возможность интерпретировать эти имена в терминах объектного языка.)

Таким образом, мы видим, что условие быть существенно богаче является необходимым для удовлетворительного определения истины в мета-языке. Если же мы хотим сформулировать теорию истины в мета-языке, невыполняющем этого условия, то нам придется отказаться от идеи определить истину только с помощью тех терминов, которые были указаны выше (см. раздел 8). Тогда мы должны будем включить термин истинно или какой-либо иной семантический термин в список неопределяемых терминов мета-языка и выразить фундаментальные свойства понятия истины в ряде аксиом. В такой аксиоматической процедуре нет ничего существенно неверного и для некоторых целей она может оказаться полезной [15].

Однако вовсе не обязательно использовать эту процедуру. Условие быть существенно богаче для мета-языка оказывается не только необходимым, но также и достаточным для построения удовлетворительного определения истины, т. е. если мета-язык выполняет это условие, то понятие истины может быть определено в нем. Теперь мы покажем в самом общем виде, как может быть осуществлено это построение.

11. Построение (краткий очерк) определения [16].

Определение истины можно очень просто получить из определения другого семантического понятия – понятия выполнимости.

Выполнимость есть отношение между произвольными объектами и определенными выражениями, называемыми пропозициональными функциями. Это выражения типа x бел, x больше, чем у и т. п. Их формальная структура аналогична структуре предложений, но они могут включать в себя так называемые свободные переменные (как х и у в выражении x больше, чем у), которые не могут входить в предложения.

При определении понятия пропозициональной функции для формализованных языков мы обычно пользуемся рекурсивным методом, т. е. сначала описываем пропозициональные функции простейшего вида (что, как правило, не встречает трудностей), а затем указываем операции, посредством которых из простых могут быть построены более сложные функции. Такой операцией может быть, например, образование логической дизъюнкции или конъюнкции двух данных функций, т. е. соединение их с помощью слов или либо и. Предложение теперь можно определить просто как пропозициональную функцию, не содержащую свободных переменных.

Что касается понятия выполнимости, то мы могли бы попытаться определить его так: данные объекты выполняют данную функцию, если последняя становится истинным предложением, когда свободные переменные в ней мы заменяем именами этих объектов. В этом смысле, например, снег выполняет пропозициональную функцию х бел, так как предложение снег бел истинно. Однако, даже оставляя в стороне другие трудности, мы не можем воспользоваться этим методом, поскольку хотим употребить понятие выполнимости для определения истины.

Для определения понятия выполнимости нам лучше вновь обратиться к рекурсивной процедуре. Сначала мы указываем, какие объекты выполняют простейшие пропозициональные функции, а затем формулируем условия, при которых данные объекты выполняют сложную функцию, предполагая при этом, что нам известно, какие объекты выполняют более простые функции, из которых построена сложная функция. Так, например, мы говорим, что данные числа выполняют логическую дизъюнкцию х больше, чем у или х равно у, если они выполняют хотя бы одну из функций x больше, чем у или x равно у. Как только получено общее определение выполнимости, мы тотчас же замечаем, что оно автоматически применимо также к тем особым пропозициональным функциям, которые не содержат свободных переменных, т. е. к предложениям. Выясняется, что для предложения возможны лишь два случая: предложение выполняется либо всеми объектами, либо ни одним из них. Отсюда мы легко получаем определение истинности и ложности: предложение истинно, если оно выполняется всеми объектами, и ложно в противном случае [17].

(Может показаться странным, что мы избрали окольный путь определения истинности предложений вместо того, чтобы использовать, например, прямую рекурсивную процедуру. Причина заключается в том, что сложные предложения образуются из более простых пропозициональных функций, но не всегда из более простых предложений, поэтому неизвестен общий рекурсивный метод, применимый специально к предложениям.)

Из этого беглого наброска не видно, где и как в рассуждение включается предположение о большем богатстве мета-языка. Это выясняется лишь при более детальном и формальном построении [18].

12. Следствия данного определения.

Определение истины, набросок которого был дан выше, приводит ко многим интересным следствиям.

В первую очередь, это определение оказывается не только формально корректным, но также и материально адекватным (в смысле раздела 4), иными словами, из него следуют все эквивалентности вида Т. В этой связи важно заметить, что условия материальной адекватности единственным образом детерминируют объем термина истина. Поэтому любое определение истины, которое материально адекватно, будет необходимо эквивалентно построенному выше. Семантическая концепция истины не дает нам, так сказать, возможности выбирать между различными неэквивалентными определениями этого понятия.

Кроме того, из нашего определения мы можем дедуцировать различные законы общего характера. В частности, с его помощью мы можем доказать законы противоречия и исключенного третьего, столь важные для аристотелевской концепции истины, т. е. мы можем показать, что только одно из двух противоречащих друг другу предложений истинно. Эти семантические законы не