поскольку оно есть отношение к другому, его моменты внутри его самого суть различия единицы и определенного числа, а последнее само есть множество одних, т. е. в себе самом эта абсолютная внешность. Это противоречие числа или, вернее, определенного количества внутри себя есть качество определенного количества, в дальнейших определениях которого это противоречие развивается.
Примечание 1-е. Величины пространственная и числовая рассматриваются, как два различных вида; первая для себя есть столь же определенная величина, как и вторая; их различие состоит лишь в различных определениях непрерывности и дискретности, а как определенные количества, они стоят на одной и той же ступени. Вообще говоря, геометрия в пространственной величине имеет предметом непрерывную величину, а арифметика в числовой величине — дискретную. Но при таком различии предмета они не обладают также равным способом и совершенством ограничения или определенности. Пространственная величина обладает определенностью лишь вообще; поскольку же она рассматривается, как просто определенное количество, она имеет нужду в числе. Геометрия, как таковая, не измеряет пространственных фигур, не есть искусство измерения, она лишь сравнивает их. И при ее определениях последнее исходит отчасти от равенства сторон, углов, от равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно на равенстве расстояний всевозможных его точек от центра, не требует для своего определения никакого числа. Эти покоящиеся на равенстве или неравенстве определения суть истинно геометрические. Но они недостаточны, и для других определений, например, треугольника, {128}четырехугольника потребно число, которое в своем принципе, одном, содержит определенность для себя, а не определение при помощи чего-либо другого, т. е. при помощи сравнения. Пространственная величина, правда, находит в точке определенность, соответствующую одному; но точка, поскольку она выходит вне себя, становится другим — линиею; так как точка есть по существу лишь одно пространства, она в отношении становится непрерывностью, в которой точечность, определенность для себя, снята. Поскольку определенность для себя должна сохраниться в бытии вне себя, линия должна быть представляема, как множество одних, и граница, определение многих одних, возвратиться в себя, т. е. величина линии — равным образом и других пространственных определений — должна быть выражена числом.
Арифметика рассматривает числа и их фигуры или, правильнее, не рассматривает их, а действует над ними. Ибо число есть безразличная, косная определенность; оно должно быть приведено в действие и в отношение извне. Способы этого отношения суть виды счета (Rechnungsarten). Они излагаются в арифметике один после другого, и становится ясным, что один зависит от другого. Нить, руководящая их последовательностью, не выясняется, однако, в арифметике. Но из определения понятия самого числа легко вытекает то систематическое сопоставление, которое законно требуется изложением этих начал в учебниках. На эти основные определения должно здесь вкратце обратить внимание.
Число по своему принципу, одному, есть вообще нечто внешне сочетанное, просто аналитическая фигура, не содержащая в себе никакой внутренней связи. Так как оно есть лишь внешним образом произведенное, то каждый счет есть произведение чисел, считание или определеннее — сосчитывание. Различие этого внешнего произведения, совершающего постоянно одно и то же, может заключаться лишь во взаимном различении сосчитываемых чисел; такое различение само должно проистекать из чего-либо другого и из внешнего определения.
Качественное различие, составляющее определенность числа, есть, как мы видели, различие единицы и определенного числа; к ним сводится поэтому вся определенность понятия, которая может иметь место в видах счета. Различие же, которое присуще числам, как определенным количествам, есть внешнее тожество и внешнее различение, равенство и неравенство, причем эти рефлективные моменты имеют быть рассмотрены при категории различения, как определении сущности[21].
Далее нужно предпослать то заключение, что числа могут вообще быть производимы двумя способами, или через присовокупление, или через отделение из образованной уже совокупности; и так как каждое имеет место относительно образованного одним и тем же способом вида числа, то присовокуплению чисел соответствует то, что может быть названо положительным видом счета, а отделение — тому, что может быть названо отри{129} цательным видом счета; определение же самого вида счета не зависит от этой противоположности.
1. После этих замечаний перейдем к изложению способов счета. Первое образование числа есть совокупление многих, как таковых, т. е. из коих каждое положено, лишь как одно — нумерация (счисление). Так как одни противоставлены одно другому, как внешние, то они изображаются в чувственном образе, и действие, через которое производится число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., может быть лишь показано. Остановка на том, сколько сосчитано, поскольку граница есть нечто внешнее, есть нечто случайное, произвольное. Различение определенного числа и единицы, вступающее в силу при процессе счета, обосновывает собою систему — двоичную, десятиричную и т. д. — счисления; она в общем зависит от произвольного выбора за новую, постоянную единицу того или иного определенного числа.
Возникающие через нумерацию числа вновь подвергаются нумерации; и поскольку они положены так непосредственно, они определяются еще без всякого отношения одно к другому, безразлично относительно равенства и неравенства, в случайной относительной величине, — поэтому вообще, как неравные, — сложение. Что 7 и 5 составляют двенадцать, узнается таким путем, что к 7 принумеровывается еще 5 одних по пальцам или иным способом, результат чего удерживается затем в памяти наизусть, так как в этом случае нет ничего внутреннего. Равным образом мы узнаем, что 7*5=35, через счет по пальцам и т. п., прибавляя к одной семерке еще другую, повторяя это пять раз и затем также удерживая результат в памяти. Труд такой нумерации, нахождение сумм и произведений, совершается при помощи «одно да одно» или «единожды одно одно», чтo также можно выучить лишь наизусть.
Кант (во «Введении к критике чистого разума», V) считает предложение 7+5=12 синтетическим. «Правда, говорит он, можно бы было сначала подумать (конечно!), что это чисто аналитическое предложение, получаемое из понятия суммы семи и пяти по началу противоречия». Понятие суммы не означает ничего более, кроме того отвлеченного определения, что эти два числа должны быть совокуплены и притом, как числа, внешним образом, т. е. без помощи понятий, что начиная с семи нужно продолжать нумерацию до тех пор, покуда будут исчерпаны прибавляемые единицы, счетом до пяти; результат носит уже известное заранее название двенадцати. «Но, продолжает Кант, при ближайшем рассмотрении оказывается, что понятие суммы 7-ми и 5-ти не содержит ничего, кроме соединения двух чисел в одно, причем вовсе не мыслится о том, какое это одно число, соединяющее в себе оба»; …«сколько бы я ни расчленял мое понятие о такой возможной сумме, я все же не найду в ней двенадцати». Действительно, с мыслию о сумме, с расчленением понятия, переход от этой задачи к ее результату не имеет ничего общего; «должно выйти за пределы этих понятий, прибегнуть к помощи воззрения, пяти пальцев {130}и т. п. и присоединить таким образом к понятию семи единиц данные в воззрении пять», прибавляет он. Конечно, пять дано в воззрении, т. е. есть совершенно внешнее сочетание произвольно повторенной мысли, одного; но и семь есть столь же мало понятие; здесь нет никаких понятий, за пределы которых выходят. Сумма 5-ти и 7-ми означает чуждое понятию соединение обоих чисел; этот столь чуждый понятию счет, начиная от семи, продолженный до тех пор, пока будет исчерпано пять, можно назвать сочетанием, синтезированием, также как нумерацию одних — синтезированием, которое, однако, имеет совершенно аналитическую природу, так как это связь совершенно искусственная (gemacht), в нее не привзошло ничего, что не было бы совершенно
