качество. Определенное количество, как безразличная граница, переходит за себя в бесконечность; оно стремится тем самым не к чему иному, как к определенности быть для себя, к качественному моменту, который есть таким образом лишь долженствование. Его безразличие относительно границы, соединенное с отсутствием в нем сущей для себя определенности и его выходом за себя самого, есть то, что делает определенное количество определенным количеством; этот его выход должен подвергнуться отрицанию и найти свою абсолютную определенность в бесконечном.
Вообще: определенное количество есть снятое качество; но количество бесконечно, оно выходит за себя, есть отрицание себя; этот его выход есть следовательно в себе отрицание отрицаемого качества, восстановление послед{157}него; и тем самым положено, что внешность, являющаяся, как потусторонность, определяется, как собственный момент определенного количества.
Определенное количество тем самым полагается, как отталкиваемое от себя, вследствие чего возникают два определенных количества, которые однако снимаются, составляют лишь моменты одного единства, и это единство есть определенность определенного количества. Таким образом оно в своей внешности, как безразличная граница, отнесенное к себе и следовательно положенное качественно, есть количественное отношение. В отношении определенное количество внешне, отличается от себя самого; эта его внешность есть отношение одного определенного количества к другому определенному количеству, причем каждое имеет значение лишь в этом своем отношении к своему другому; и это отношение составляет определенность определенного количества, которое, как таковое, есть единство. Это отношение есть тем самым не безразличное, но качественное определение; оно в этой своей внешности возвращается к себе, есть в ней то, что оно есть.
Примечание 1-е
Определенность понятия математического бесконечного
Математическое бесконечное представляет интерес отчасти вследствие произведенного им расширения математики и великих результатов, которые были достигнуты последнею вследствие его введения в нее; отчасти же оно достойно замечания потому, что этой науке еще не удалось оправдать его употребления посредством понятия (понятия в собственном значении этого слова). Его оправдания сводятся в конце концов на правильность результатов, достигаемых при помощи этого определения, результатов, доказываемых из чуждых ему оснований, а не к установлению ясного понятия о предмете и о приеме, посредством которого достигаются эти результаты, так что даже самый прием признается неправильным.
Это само по себе есть недостаток; такой образ действия ненаучен. Но он приводит также к тому вредному последствию, что математика, поскольку она не знает природы этого своего орудия, не может определить объема своего приложения и предохранить от злоупотреблений последним.
В философском же отношении математическое бесконечное важно тем, что в основе его действительно лежит понятие истинной бесконечности, и что поэтому оно стоит много выше, чем обыкновенно так называемое метафизическое бесконечное, которое предъявляет возражение против первого. Против этих возражений наука математики часто избавляется лишь тем, что она отрицает компетентность метафизики, полагая, что математике нет дела до этой науки, и что она (математика) может не заботиться о понятиях метафизики, если только первая остается последовательною на своей собственной почве. Математика должна рассматривать не то, что истинно по себе, а то, что истинно в ее области. Метафизика не может отрицать или опровергнуть блестящих результатов употребления математического бесконечного при всех своих возражениях против него, математика же не в со{158}стоянии сладить с собственными понятиями метафизики, а следовательно, и с объяснением того образа действий, который делает необходимым употребление бесконечного.
Если бы затруднение, тяготящее математику, было только затруднением понятия вообще, то это затруднение могло бы быть спокойно оставлено в стороне, так как понятие есть нечто большее, чем начертание его существенных определенностей, т. е. рассудочных определений некоторой вещи, а в строгости этих определенностей математика не имеет нужды; ибо она не есть такая наука, которая имеет дело с понятиями своих предметов и образует их содержание через развитие понятия хотя бы путем рассудка. Но в методе ее бесконечности главное противоречие оказывается именно в том своеобразном методе, на котором она основывается вообще, как наука. Ибо исчисление бесконечных позволяет себе и требует способов действия, которые при действиях над конечными величинами математика должна совершенно отвергать, а вместе с тем она обращается со своими бесконечными величинами, как с конечными определенными количествами, и применяет к первым те приемы, которые имеют силу относительно последних; главная особенность в обработке этой науки состоит в том, что к трансцендентным определениям и действиям над ними применяется форма обычного счисления.
При этом разногласии своих приемов математика указывает на то, что результаты, к которым она таким образом приходит, совершенно согласуются с теми, которые получаются при пользовании собственно математическим, геометрическим и аналитическим методом. Но это отчасти касается не всех результатов, и цель введения в науку бесконечности состоит не только в сокращении обычного пути, но в достижении результатов, которые этим путем не могут быть получены. Отчасти же успех приема еще не оправдывает пути самого для себя. Этот прием исчисления бесконечных оказывается пораженным видимостью неточности, так как конечные величины то увеличиваются через присовокупление бесконечно малых величин, и последние отчасти сохраняют значение при дальнейших действиях, отчасти же пренебрегаются. Этот прием представляет собою ту особенность, что, несмотря на допущенную неточность, получается результат не только пригодный и настолько приблизительный, что разница может быть оставлена без внимания, но совершенно точный. При самом же действии, предшествующем результату, нельзя освободиться от представления, что хотя некоторые величины неравны нулю, но они столь незначительны, что их можно оставить без внимания. Но тем, что следует разуметь под математическою определенностью, совершенно исключается различение большей или меньшей точности подобно тому, как в философии может идти речь не о большей или меньшей вероятности, а единственно об истине.
Но если метод и употребление бесконечности и оправдываются их успехом, то все же, несмотря на то, требовать их оправдания не столь излишне, {159}как требовать оправдания существования носа после доказательства права пользоваться им. Ибо для математического познания, поскольку оно научно, существенно доказательство, а по отношению к результату оказывается, что строго математический метод не вполне доказывается успехом, который, сверх того, есть лишь внешнее доказательство.
Представляется заслуживающим труда рассмотреть ближе понятие бесконечного и те замечательные попытки, которые имеют целью оправдать его и устранить затруднения, тяготеющие на методе. Рассмотрение этих оправданий и определений математическо бесконечного, которые я намереваюсь подробнее изложить в этом примечании, бросит вместе с тем и наиболее яркий свет на самую природу истинного понятия и покажет, что предносится в нем и лежит в его основе.
Обычное определение математического бесконечного состоит в том, что оно есть величина, за которой — если она определяется, как бесконечно большая — нет большей величины или — если она определяется, как бесконечно малая — нет меньшей величины, или которая в первом случае более, а во втором — менее какой бы то ни было любой величины. Это определение, правда, не выражает собою истинного понятия, но содержит в себе, как уже было замечено, то же самое противоречие, которое свойственно бесконечному
