внутреннюю, качественную определенность. Одна область пространства отличается от другой не только количественно (протяженностью), но и качественно (метрикой, кривизной). Вместе с тем геометрия и вся математика перестает быть наукой о количественных отношениях. В дальнейшем, особенно благодаря топологии («качественной геометрии»), эта тенденция усиливается, в математику отчетливо проникает категория меры в диалектическом смысле,
Метрическая бесконечность не может рассматриваться как количественное понятие, здесь бесконечность тесно связывается с философской категорией меры. К этому обстоятельству мы еще вернемся.
2.3.2. В современной космологии наибольшее значение имеют простейшие (однородные изотропные) модели. Это определяется тем, что такие модели (модели Фридмана), во-первых, оказались достаточными, чтобы предсказать наиболее грандиозное явление природы, известное естествознанию XX века, — расширение Метагалактики; во-вторых, сравнение других, более сложных моделей с нашей частью Вселенной находится пока за пределами экспериментальных возможностей; в-третьих, в этих моделях структурные и иные отношения, естественно, относительно просты и в каком-то смысле даже наглядны, — в частности, пространство-время естественным образом расщепляется на единое «мировое» время и однородное пространство, в связи с чем возможна традиционная постановка вопроса о бесконечности в пространстве и времени.
Кривизна здесь однозначно определяет свойства конечности или бесконечности пространства: если кривизна положительна, то пространство конечно, если она отрицательна или равна нулю, то пространство бесконечно. Этим же определяется характер зависимости метрики от времени, т. е. характер эволюции модели. В первом случае кривизна со временем уменьшается, все расстояния увеличиваются, пространство расширяется; затем этот процесс замедляется и сменяется обратным (осциллирующая модель). Во втором случае расширение продолжается неограниченно (расширяющаяся модель). Современные наблюдательные данные, как известно, недостаточно точны для того, чтобы сделать сколько-нибудь уверенный выбор между моделями.
На протяжении нескольких десятилетий эти упрощенные космологические модели в очень многих случаях, даже, как правило, истолковывались в качестве вполне адекватных моделей Вселенной, а метрическая бесконечность — как просто бесконечность, бесконечность вообще. Отсюда делался вывод, что вопрос о конечности или бесконечности Вселенной будет окончательно решен чуть ли не в ближайшие десятилетия, как только данные астрономических наблюдений станут несколько обширнее и точнее.
В зависимости от этого решается и вопрос о конечности или бесконечности времени. Если модели рассматриваются в качестве схематических моделей нашей Метагалактики, то начало расширения есть просто некий момент Т на шкале времени; если же истолковывать модели как модели Вселенной, то говорить о времени до начала расширения в сколько-нибудь разумном физическом смысле (на современном уровне наших знаний) почти невозможно, и начало расширения есть в каком-то смысле «начало времени». Таков смысл распространенного термина «возраст Вселенной». Недоразумения усугубляются еще тем, что термином «Вселенная» пользуются то в прямом смысле, то в смысле «Метагалактика».
2.3.3. Однородные изотропные модели, несмотря на то, что они позволили предсказать важнейшую черту нашей области Вселенной — ее нестационарность, — все же представляют далеко идущую идеализацию действительности. Было бы, вероятно, просто наивно надеяться, что из всех возможностей, допускаемых уравнениями тяготения, природа использует именно ту, которая нравится нам из-за ее математической простоты. История науки предостерегает нас от таких утешительных иллюзий.
Вместе с тем разрушается иллюзия, будто нам (наконец-то!) удалось перебросить мостик через бездну бесконечности. Полуклассическая постановка вопроса, которая используется в простейших моделях, допускающих суще-ствование и единственность физически преимущественной системы отсчета и связанное с этим однозначное расщепление пространства-времени на пространство и время, в общем случае оказывается невозможной.
В работах А.Л. Зельманова[359] показана относительность пространственной и временной конечности-бесконечности, зависимость этих свойств пространства и времени от системы отсчета. Объем пространства может быть конечен в одной системе отсчета и бесконечен в другой. Это же относится и к длительности процессов. Пространственновременной каркас модели, оба сечения которого (и пространственное, и временное) бесконечны, может составлять лишь часть другого каркаса, притом с конечным пространством. Привычная интерпретация такой ситуации означала бы, что бесконечное есть часть конечного.
Классическая (дорелятивистская) постановка вопроса о бесконечности Вселенной включала следующие основные положения: а) бесконечность есть неограниченная протяженность; б) бесконечность Вселенной есть ее бесконечность в пространстве и времени; в) бесконечность и конечность — полностью взаимоисключающие понятия. Релятивистская космология заставляет отказаться от всех этих положений классической постановки вопроса. Бесконечность и конечность оказываются не только взаимоисключающими, но связанными диалектическим единством понятиями. Инвариантный, абсолютный смысл имеет только вопрос о конечности или бесконечности Вселенной в пространстве-времени, но не в пространстве и времени. При этом конечность и бесконечность следует рассматривать как некое внутреннее свойство континуума, его меру, а не только количественную характеристику.
Общий итог релятивистской космологии в интересующем нас вопросе формулируется так: в пространстве-времени Вселенная метрически бесконечна.
2.4. Топологическая бесконечность. В плане возрастающей общности геометрических идей (по Эрлангенской программе Клейна, сейчас следовало бы рассмотреть постановку проблемы бесконечности в аффинной и проективной геометрии. Однако имея в виду интересующий нас космологический аспект проблемы, такое рассмотрение, по-видимому, без ущерба для дела можно опустить и перейти сразу к наиболее общему, с точки зрения геометрии, аспекту вопроса — топологическому.
Метрические свойства многообразия сохраняются при его деформациях, оставляющих неизменными расстояния и углы. В наглядном случае двумерного многообразия (поверхности) такие деформации представляют собой всевозможные изгибы без растяжений и разрывов поверхности. Топологические свойства сохраняются при более значительных деформациях, таких, которые оставляют неизменными лишь связность поверхности, т. е., грубо говоря, его свойство состоять из одного или нескольких кусков. Поверхность можно любым образом изгибать, растягивать и сжимать, но без разрывов и склеиваний краев. (В общем случае трех- или многомерного пространства отсутствие разрывов означает непрерывность преобразования пространства, а отсутствие склеиваний — взаимную однозначность такого преобразования, то обстоятельство, что каждой точке недеформированного преобразования соответствует лишь одна точка деформированного и наоборот). Метрическое пространство есть частный случай топологического (всякое метрическое пространство есть и топологическое пространство, но существуют такие топологические пространства, которые не могут быть метризованы — понятие расстояния в них неприменимо).
Познание топологических свойств пространственно-временного континуума Вселенной, вероятно, явится одной из наиболее фундаментальных задач космологии недалекого будущего. Пока же здесь сделаны лишь первые шаги, и каждый из них связан с преодолением очень больших трудностей.
2.4.1. Выше (2.3.2) говорилось о том, что кривизна определяет свойство конечности или бесконечности пространства постоянной кривизны однозначно. Теперь пора уточнить, что это так только в случае односвязного пространства, в общем же случае по локальным свойствам пространства, определяемым метрикой, еще нельзя судить о его глобальных свойствах. Метрика на плоскости и на поверхности цилиндра — в точности одна и та же (евклидова), но на поверхности цилиндра существуют конечные расстояния, возвращающие кратчайшим путем в исходную точку. Топологически эти две поверхности различны (не гомеоморфны), ибо деформация, при которой из плоской полосы получается поверхность цилиндра, включает склеивание краев, т. е. нарушает требование взаимной однозначности соответствующих точек.
Роль топологических свойств пространства для релятивистской космологии в принципе известна очень давно. Когда Эйнштейн предложил исторически первую релятивистскую космологическую модель — статическую модель с пространством постоянной положительной кривизны, — он трактовал это пространство как «сферическое». Но Клейн тогда же показал, что это пространство можно трактовать и как
