сторон (меньшего или большего) или в обоих направлениях лестница качеств или, точнее, мер, поскольку качество оказывается тесно связанным с количеством, будет исчерпана, что существует определенная граница (снизу или сверху, либо и снизу, и сверху) «потоку бесконечного». Назовем такие гипотезы гипотезами конечности.
Для экстенсивной бесконечности примеры приводились выше. Это, например, идея замены бесконечного в математике очень большим, но конечным (в числовом выражении — «сверхастрономическим» числом), а в космологии — идея пространственно конечной Вселенной. Можно упомянуть еще точку зрения Гильберта, согласно которой бесконечность есть лишь идея (правда, очень плодотворная), но она нигде не реализуется.
Упомянем об аналогичных гипотезах в отношении интенсивной бесконечности (интенсивной конечности). В теории элементарных частиц предположение об интенсивной бесконечности пространства и времени влечет (на современном уровне наших знаний) за собой вывод об экстенсивной бесконечности энергии, массы, заряда, что считается неудовлетворительным не только в вычислительном, но и в принципиальном отношении. Для преодоления этой трудности выдвигаются различные варианты гипотезы о дискретности пространства и времени, о том, что не существует интервалов меньше определенной малой, но конечной протяженности. Еще более радикальной является гипотеза конечного (на взгляд докладчика, лучше сказать, счетного) континуума: пространство состоит из большого, но конечного числа точек.
Разумеется, как и в случае концепции конечной Вселенной, было бы совершенно неверно сводить причины появления таких гипотез к психологической, эстетической или идеологической области. Причина их появления прежде всего та, что они дают определенный эффект в физике, позволяют преодолеть или обойти определенные трудности, возникающие в ходе развития физических наук.
Надежда получить некое окончательное решение проблем пространственно-временного континуума с помощью гипотез конечности вряд ли оправдана. В этом отношении очень поучительна история релятивистской космологии.
Как известно, Эйнштейн надеялся вывести из своей теории тяготения однозначный вывод о пространственной конечности Вселенной. Но уже через несколько лет после появления этой теории A.A. Фридман показал, что она допускает как конечность, так и бесконечность Вселенной. В свете исследований последнего десятилетия стало ясно, что положение еще намного «хуже»: если бы даже и удалось доказать пространственную конечность (замкнутость), например, Метагалактики, то это вовсе не означало бы, что Вселенная сводится к Метагалактике. В физических приложениях, как мы видели, не только метрическая, но даже и топологическая замкнутость пространства далеко не абсолютна. Она означает всего лишь весьма сильную автономность данной физической системы. Если и «сверхзвезды», и Метагалактика суть антиколлапсирующие системы, то может существовать целая иерархия (в принципе, даже бесконечная иерархия!) замкнутых пространств.
Аналогичное положение может существовать и в микрофизике, словом, пространство может оказаться замкнутым не только сверху, но и снизу, в направлении бесконечно малого, но это также, вероятно, окажется не абсолютной, а относительной, физической замкнутостью.
Отсюда вместе с тем следует и полная правомерность изучения того, что могут дать гипотезы (постулаты) конечности в космологии и микрофизике. Это важно не только с точки зрения непосредственных физических приложений (релятивистская астрофизика), но и в интересах самой проблемы бесконечности. В силу «сопряженности» конечно-сти и бесконечности познание бесконечности предполагает выяснение смысла и пределов применимости понятия конечного (замкнутого).
В области очень малых пространственно-временных масштабов, как и в области очень больших, свойства континуума могут очень радикально отличаться от привычных. Не только метрические соотношения могут быть иными, сами метрические понятия могут оказаться ограниченно или вовсе неприменимыми (неметризуемое топологическое пространство). Мало этого. Если, например, пространство микромира, начиная с каких-то масштабов, дискретно, то придется считаться с нарушением такого фундаментального топологического инварианта, как размерность пространства (число его измерений): дискретное пространство не трехмерно, а нульмерно. Если бы на основе каких-либо априорных соображений или нашего предыдущего опыта можно было предсказать, какие из известных свойств пространства-времени сохранятся в ультрамикроскопических масштабах (например, топологическое свойство — непрерывность), то можно было бы сэкономить миллиарды на строительстве ускорителей. К сожалению, это не так. Источником всех знаний, в том числе и философских, является опыт. На основе нового опыта нам много-много раз придется пересматривать наши представления о пространстве и времени, в том числе и философские представления. В соответствии с известным положением Энгельса, это придется делать «с каждым крупным открытием естествознания» в этой области.
2.6. Теоретико-множественная бесконечность. По современным представлениям топологические свойства пространства-времени — это наиболее общие его свойства, сохраняющиеся при наиболее глубоких деформациях (преобразованиях). Более общих геометрических свойств мы сейчас не знаем. И все же, возможен еще более общий, — так сказать, общематематический подход к проблеме. Поскольку всю современную математику проникают понятия и методы теории множеств, такой подход является теоретико- множественным.
Но в современной математике топология и теория множеств настолько переплетаются между собой и с другими разделами математики, что определить точные границы их компетенции затруднительно. Столь же трудно провести грань между геометрией и остальной математикой. По словам акад. А.Н. Колмогорова, «вся та часть математики, в которой играет роль непрерывность, грозит сделаться геометрией, так как множество любых математических объектов (например, функций), в котором могут быть установлены топологические соотношения, может быть объявлена пространством. Таким образом, вместе с геометризацией всей непрерывной математики намечается исчезновение геометрии как самостоятельной и до известной степени противоположной всей остальной математике науки».
«Заметим здесь, — продолжает А.Н. Колмогоров, — что развитие общих геометрических идей в значительной мере задерживалось философскими спорами о природе пространства… Зато только после окончательного установления понятия абстрактного математического пространства приобрел ясный смысл и вопрос об устройстве физического пространства. Теперь вопрос этот ставится в такой форме: какое из многочисленных могущих быть построенными абстрактных математических пространств отражает с точностью, соответствующей нашим экспериментальным возможностям, строение физического пространства? Ответ на этот вопрос, естественно, может эволюционировать с ростом наших знаний»[370].
Что существенно нового вносит теория множеств в решение проблемы бесконечности?
Следует прежде всего подчеркнуть тесную связь теории множеств с этой проблемой. Сама теория возникла из стремления решить именно эту проблему. Можно сказать вместе с Э. Кольманом, что, «когда математики сделали серьезную попытку преодолеть затруднения и противоречия, вызванные в математике понятием бесконечности, они создали теорию множеств»[371].
Теория множеств устранила те противоречия, для устранения которых она была создана, но отнюдь не противоречия вообще. На место устраненных противоречий встали новые, более глубокие, но они относятся не столько к сфере математики, сколько метаматематики, в частности, к проблемам оснований математики и математической логики).
Чтобы не отходить от основного — космологического — стержня доклада, целесообразно ограничиться перечислением лишь тех новых аспектов в понимании бесконечного, которые существенны для дальнейшего изложения.
Теория множеств позволяет охватить с единой точки зрения все рассмотренные до сих пор аспекты бесконечности. В частности, она разрешила те «непостижимые загадки математики», которые были упомянуты выше и связаны, прежде всего, с понятием предела в анализе. Как замечает Г. Вейль, «все грандиозное здание анализа приобрело несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях. Понятия анализа приобретают точность, а доказательства — безупречную последовательность»[372].
Теория множеств впервые в истории науки доказала возможность дать положительное определение бесконечности. До этого бесконечность могла определяться лишь отрицательным образом — как то, что не есть конечное, как выход за всякое конечное и т. п. Конечное, однако, само есть отрицание бесконечного.
