Получается порочный круг. Теоретико-множественное понимание бесконечности не связано с установлением и снятием какого-либо предела. Определяющая черта бесконечного множества, отличающая его от конечного, это то, что в нем существует подмножество, эквивалентное (равномощное) самому множеству. Я рискну сформулировать это так: для бесконечности существует такое качество, которое снимает в нем количественные различия. Таким образом, бесконечность не просто связана с категорией меры, что отчетливо видно уже на примере рассмотренных выше менее общих типов бесконечности, она порождает свою особую, специфическую меру. Существование «меры вещей» обнаруживается в том, что изменение количества только до определенной границы остается безразличным для качества. Но количество, развитое до предела и за всякий предел, теряет свое значение, переходит в чистое качество, но качество, не свойственное ни одной конечной вещи. Можно было бы сказать, что это есть качество, полученное в результате неограниченных чисто количественных изменений, но изюминка ситуации ведь заключается в том, что в теории множеств бесконечность не есть процесс или результат процесса, а нечто существующее, так сказать, изначально и в готовом виде. Мера здесь выступает как «статическое» единство качества и количества, но качественная определенность выражена столь ярко, что стирается значение количественной. Такое понимание бесконечности резко расходится не только с античным (бесконечность — определенное очень большое количество), но и вообще с господствующим и поныне представлением, согласно которому бесконечность есть количественное понятие.
Теория множеств снимает противоположность конечного и бесконечного. Для нее не существует никакой принципиальной разницы между конечными и бесконечными множествами. Элементы множества задаются указанием их свойства, качества. Сказать: «такое-то множество» или «такое-то свойство» — это одно и то же, и не имеет никакого значения, присуще это свойство одному объекту или таких объектов бесконечно много.
Однако теория множеств одновременно резко усиливает противоположность конечного и бесконечного. Они, если угодно, пребывают на разных логических основах. Поскольку бесконечное множество эквивалентно своему под-множеству, то бесконечность явно нарушает аксиому Евклида (и самого «здравого смысла»!) «целое больше части».
Диалектичность теоретико-множественного понимания бесконечности этим отнюдь не ограничивается. Выше было подчеркнуто, что в теории множеств бесконечность есть качественное понятие. Но вместе с тем теория множеств впервые позволила по-настоящему, строго количественно различать разные бесконечности (понятие кардинального числа), более того, выяснила, что сам ряд мощностей бесконечных множеств бесконечен! Однако логика (арифметика) трансфинитных чисел отлична от обычной, так что возврата к чисто количественной бесконечности нет.
2.7. Актуальная и потенциальная бесконечность. В основе теории множеств лежит представление о существовании актуальной бесконечности. Выше это понятие неявно использовалось, разумеется. Но в силу его существенного значения для нашей темы на нем стоит остановиться особо.
До появления теории множеств математическая и философская мысль по существу не могла одолеть апории Зенона, доказывавшие невозможность актуальной (интенсивной, но фактически также и экстенсивной) бесконечности. Космологическая (экстенсивная) форма апории «Ахилл» отчетливо сформулирована в первой антиномии чистого разума Канта.
Всеобщее убеждение в невозможности актуальной бесконечности нашло выражение в известном изречении infinitum actu non datur — действительная (актуальная) бесконечность не дана (не существует). Против актуальной бесконечности высказывались философы такого калибра, как Аристотель, и математики такого калибра, как Гаусс. Многие современники Кантора во главе с Кронекером считали его настоящим еретиком. Против придания бесконечности какого бы то ни было реального значения решительно возражал виднейший математик Гильберт.
Но в сочетании слов «бесконечность Вселенной» бесконечность предполагается актуальной. Вселенная либо актуально бесконечна, либо она вообще не бесконечна. Это обстоятельство очень четко выражено в случае метрической бесконечности в однородных изотропных моделях. Если в некий произвольный момент времени пространство конечно, то оно всегда было и будет конечным, и обратно. Конечное пространство не может стать бесконечным, бесконечное — конечным, его свойство быть конечным или бесконечным есть инвариант эволюции.
Однако это вовсе не означает, что потенциальная бесконечность не имеет отношения к космологии. Заслуга теории множеств заключается, кроме всего прочего, в том, что она, в сущности, показала неразрывную связь актуальной и потенциальной бесконечности. Математики хотели ограничиться признанием одной лишь потенциальной бесконечности. Но как показал Кантор, потенциальная бесконечность фактически предполагает актуальную. Если теория множеств и вместе с нею актуальная бесконечность в конце концов получили всеобщее признание, то это потому, что теория оказалась мощнейшим математическим инструментом, притом универсальным. К казавшейся совершенно еретической точке зрения о том, что бесконечность может рассматриваться не как процесс, который не может быть завершен, а как нечто данное, законченное, постепенно привыкли. Но актуальная бесконечность вовсе не устранила потенциальную. Не только потенциальная бесконечность предполагает актуальную, но, по крайней мере, в известной степени и наоборот, актуальная предполагает потенциальную. Действительное, наименьшее из трансфинитных чисел, алеф нуль, через которое определяются остальные, —
Из этого, между прочим, видно, что и то решение проблем бесконечности, которое дается теорией множеств, не может быть окончательным. Обратимся опять к тонкому знатоку глубоких проблем математики Г. Вейлю. «В системе математики, — пишет он, — имеются два обнаженных пункта, в которых она, может быть, соприкасается со сферой непостижимого. Это именно принцип построения ряда натуральных чисел и понятие континуума. Все остальное… представляет собой задачу формальной логики, не таящую уже в себе никаких трудностей и загадок… Теория множеств надеется и в этих двух пунктах возвести прочную плотину и запрудить поток бесконечного, грозящий затопить в своем течении наш дух [373]». Такая плотина еще не возведена и похоже, что не может быть возведена средствами теории множеств в существующем виде.
Каков, однако, прообраз потенциальной бесконечности в космологии? В общем виде ответ на этот вопрос, видимо, может быть примерно таков. Понятие актуальной бесконечности в математике идеализирует действительное положение вещей в том смысле, что рассматривает их как некую готовую, заданную, устойчивую совокупность. Но релятивистская космология установила нестационарность Вселенной (ее составных частей). Поэтому свойства Вселенной, в том числе и пространственно-временные, представляют устойчивое в изменении, и могут существовать лишь как результат многообразных процессов, нарушающих устойчивость. Потенциальная бесконечность является отражением этой стороны дела.
2.8. Метаматематическая бесконечность. Этим намеренно неоднозначным термином я хочу привлечь внимание к возможности дальнейшего обобщения понятия бесконечности в различных направлениях, которые по-разному выводят за пределы представлений, существующих в современной математике.
Во-первых, мыслимы обобщения основного для современной релятивистской космологии аспекта бесконечности — метрического — и усложнение основного понятия метрической геометрии — понятия кривизны. Одно из простейших предположений этого рода — наличие у пространства или пространства- времени второй кривизны (спиральности).
Во-вторых, не исключена возможность дальнейшего обобщения самой геометрии в смысле обнаружения у пространства-времени свойств, еще более устойчивых, чем топологические. При этом может претерпеть изменение и наиболее общее в геометрии понимание бесконечности — топологическое.
В-третьих, возможны изменения, которые явились бы метаматематическими в буквальном значении этого слова, т. е. выводящими за теоретико-множественные основы современной математики. Не только вся релятивистская теория тяготения, из которой исходит современная космология, но и теория поля вообще и вся теоретическая физика в целом строится на том самом теоретико-множественном понимании континуума, которое, по словам Вейля, является одним из двух обнаженных пунктов современной математики. Центральный пункт этого понимания — представление о точечном множестве, множестве, в котором можно с помощью понятия предельных точек подмножеств ввести понятие непрерывности. Представление об
