вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: «Истинное высказывание следует из чего угодно».
Если заданы два высказывания P, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) P и Q истинны; 2) P истинно, Q ложно; 3) P ложно, Q истинно; 4) P и Q ложны.
В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание P ? Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких — ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.
Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:
(В «нормальной» таблице истинности вместо букв И и Л используют сокращения 0 — ложно и 1 — истинно — SStas)
Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда P истинно и Q истинно, высказывание P ? Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если P истинно, Q ложно, то P ? Q истинно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке — что если P ложно и Q ложно, то P ? Q истинно.
Заметим, что P ? Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.
Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания «Если P, то Q», достаточно, приняв высказывание P за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки P следует заключение Q, то высказывание «Если, то Q» истинно.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.
| P | Q | P?Q | |
| 1 | И | И | И |
| 2 | И | Л | Л |
| 3 | Л | И | И |
| 4 | Л | Л | И |
А. Применение импликации к рыцарям и лжецам
109. О каждом из двух людей A и B известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что A высказывает следующее утверждение: «Если я рыцарь, то B — рыцарь».
Можно ли определить, кто такие A и B: кто из них рыцарь и кто лжец?
110. У A спрашивают: «Вы рыцарь?» Тот отвечает: «Если я рыцарь, то съем собственную шляпу».
Докажите, что A придется съесть свою шляпу.
111. A утверждает: «Если я рыцарь, то дважды два — четыре». Кто такой A: рыцарь или лжец?
112. A заявляет: «Если я рыцарь, то дважды два — пять». Кто, по-вашему, A: рыцарь или лжец?
113. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: «Если B — рыцарь, то я лжец». Кто A и кто B?
114. Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, A и B выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:
A: Если X виновен, то Y виновен.
B: Либо X не виновен, либо Y виновен.
Можно ли утверждать, что A и B однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)
115.
У трех обитателей A, B и C острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:
A: B — рыцарь.
B: Если A — рыцарь, то C — рыцарь.
Можно ли определить, кто из A, B и C рыцарь и кто лжец?
Б. Любовь и логика
116.
Предположим, что следующие два высказывания истинны:
1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.
2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.
Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?
117.
Предположим, что у меня спрашивают: «Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?» Я отвечаю: «Если это верно, то я люблю Бетти».
