Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> Sort([х^3,х^2,х+1,х+5]);
Error, (in sort_poly) sort_poly uses a 2nd argument, x, which is missing
> Sort([х^3,х^2,x+1,x+5],x);

[1 + x, x + 5, x², x³]

5.5.4. Функции преобразования полиномов в PDE и обратно

Функция PolynomialToPDE(polys, vars, depvars) преобразует полиномы polys по независимым переменным vars в дифференциальные уравнения с частными производными (PDE). Другая функция PDEToPolynomial(pdes, vars, depvars) осуществляет обратное преобразование. Следующие примеры иллюстрируют применение этих функций:

> S:= PolynomialToPDE([(х^2 - 2*х + 1)*u + x^3*v], [х], [u,v]);

> PDEToPolynomial(S, [х], [u,v]);

[(x² - 2x + 1)u + x³v]

5.6. Введение в интерполяцию и аппроксимацию

5.6.1. Основные понятия

Если некоторая зависимость y(х) представлена рядом табличных отсчетов y_i (х_i), то интерполяцией принято называть вычисление значений y(х) при заданном х, расположенном в интервале между отсчетами. За пределами общего интервала определения функции [a, b], то есть при x<a и x>b вычисление y(x) называют экстраполяцией (или, иногда, предсказанием значений функции). В данном случае речь идет об одномерной интерполяции, но возможны двумерная интерполяция функций двух переменных z(х, у) и даже многомерная интерполяция для функций многих переменных.

Интерполяция и экстраполяция часто выполняются по некоторой скрытой, но подразумеваемой, зависимости. Например, если узловые точки функции соединить отрезками прямых, то будем иметь многоинтервальную линейную интерполяцию данных. Если использовать отрезки параболы, то интерполяция будет параболической. Особое значение имеет многоинтервальная сплайн-интерполяция, области применения которой уже сейчас весьма обширны и непрерывно расширяются. Интерполяция рядом Фурье (набором синусоидальных функций) также достаточно хорошо известна, она эффективна при интерполяции периодических функций.

Аппроксимацией в системах компьютерной математики обычно называют получение приближенных значений какого-либо выражения. Однако под аппроксимацией функциональных зависимостей подразумевается получение некоторой конкретной функции, вычисленные значения которой с некоторой точностью аналогичны аппроксимируемой зависимости. Обычно предпочитают найти одну зависимость, приближающую заданный ряд узловых точек. Часто для этого используют степенные многочлены — полиномы.

Здесь мы будем рассматривать такие виды аппроксимации, которые дают точные значения функции y(x) в узловых точках в пределах погрешности вычислений по умолчанию. Если аппроксимирующая зависимость выбирается из условия наименьшей среднеквадратической погрешности в узловых точках (метод наименьших квадратов), то мы имеем регрессию или приближение функций по методу наименьших квадратов.

5.6.2. Полиномиальная аппроксимация и интерполяция аналитических зависимостей

Рассмотрим основы полиномиальной аппроксимации (приближения) функциональных зависимостей. Пусть приближаемая функция φ(х) должна совпадать с исходной функцией f(х) в (n +1)-точке, то есть должно выполняться равенство: φ(х_i)=f(х_i) =f_i, i = 0, …, n. В качестве приближающей функции примем алгебраический полином:

  (5.1)

Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами приближающей функции, требуемой точностью, а также выбором узлов интерполяции. В случае аналитической функциональной зависимости выбор степени полинома может быть любым и чаще всего определяется компромиссом между сложностью полинома, скоростью его вычисления и погрешностью. В качестве критерия согласия принимается условия совпадения функций f и q в узловых точках:

f(х_i) = Р_n(х_i), (i=0, 1, … n).  (5.2)

Полином Р_n(х) удовлетворяющий данному условию будет интерполяционным полиномом.

Для задачи интерполирования в интервале [a, b] выбираются значения аргументов а≤х₀<x₁<… <х_n≤b, которые соответствуют значениям f_i=f(х_i) (i=0, 1, ..., n) функции f. Для этой функции будет существовать и притом единственный полином степени не выше n, который принимает в узлах х, заданные значения f_i. Для нахождения этого полинома решается система алгебраических уравнений

а₀х_tⁿ +a₁ х_t^{n- 1} + ... +а_n = f_i, (i=0, 1, ..., n).

Подставив полученные значения a_k в равенство (5.1) можно получить обобщенную форму представления интерполяционного полинома

   (5.3)

Получив интерполяционный полином (5.3), необходимо выяснить, насколько близко он приближается к исходной функции в других точках отрезка [a, b]. Обычно для этого строится график f(x) и Р_n(х) и график их разности, т. е. абсолютной погрешности. Последняя определяется выражением:

   (5.4)

Вопреки существующему мнению о быстрой потери точности полиномиальной аппроксимации при n>(5–7) погрешность ее быстро уменьшается при увеличении n. Но это только при условии, что все вычисления выполняются точно! При выборе метода приближения необходимо обеспечить по возможности более высокую точность приближения и одновременно простоту построения φ(х) по имеющейся информации о приближаемой функции f(х).