Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

5.6.3. Интерполяционный метод Лагранжа.

При решении практических задач часто используют специальные виды интерполяционных полиномов, которые упрощают некоторые вычислительные процедуры. Данный метод предполагает введение вспомогательного полинома l_i(х) степени n. Полином l_i(х) в точке х, должен быть равен 1, а в остальных точках отрезка интерполяции должен обращаться в нуль.

Удовлетворяющий этому полином может быть представлен в виде:

   (5.5)

Это выражение известно как интерполяционный полином Лагранжа. Важным достоинством ее является то, что число арифметических операций, необходимых для построения полинома Лагранжа, пропорционально n² и является наименьшим для всех форм записи. Данная форма интерполяционного полинома применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов. Достоинством является и то, что интерполяционный полином Лагранжа удобен, когда значения функций меняется, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях. Рекомендуется использовать запись интерполяционного полинома в форме Лагранжа при теоретических исследованиях при изучении вопроса сходимости L_n(f, х) к f при n→∞.

К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов необходимо все вычисления проводить заново. Выражение (5.4) можно записать в более компактной форме:

   (5.5)

Теоретически максимальную точность обеспечивает полином высокой степени. Однако на практике часто используется полином невысокой степени (линейная и квадратичная интерполяция) с увеличением степени интерполяционного полинома возрастают колебательные свойства полинома. Аппроксимация с помощью интерполяционного полинома Лагранжа является достаточно эффективной, когда интерполируются гладкие функции и число n является малым. В частности в математическом обеспечении компьютерных средств имеется стандартные подпрограммы аппроксимации, в которых реализована формула Лагранжа.

5.6.4. Интерполяционный метод Ньютона

На практике для повышения точности интерполяционного полинома незначительно увеличивают количество узлов интерполяции. В этом случае использование метода Лагранжа неудобно, так как добавление дополнительных узлов приводит необходимости пересчета всего интерполяционного полинома в целом. Эти недостатки устраняются, если записать полином Лагранжа, используя интерполяционный метод Ньютона.

Используя понятия разделенных разностей для полинома Ньютона можно получить выражение:

N_n(x) = f(x₀) + (x-x₀)f(x₁, x₀) + (x-x₀)(x-x₁)f(x₀, x₁, x₂) + … + (x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)f(x, x₀, x₁, …, x_n)  (5.6)

Представление интерполяционного полинома в форме Ньютона является более удобным в практических расчетах. На практике часто заранее неизвестно количество узлов и, следовательно, степень интерполяционного полинома. Для повышения точности интерполяции в сумму могут быть добавлены новые члены, что требует подключение новых узлов. Добавление новых узлов интерполяции приводит лишь к появлению новых слагаемых полинома, без изменения уже существующих, что не требует пересчета всех коэффициентов заново. При добавлении новых узлов интерполяции неважно, в каком порядке они подключаются, но существует одно условие — узлы х, не должны совпадать.

5.6.5. Итерационно-интерполяционный метод Эйткена

Итерационно-интерполяционный метод Эйткена позволяет свести вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Лагранжа, с учетом его равенства в узлах интерполяции с исходными данными к вычислению функциональных определителей второго порядка. При этом эффективность метода повышается в тех случаях, когда нет необходимости в получении приближенного аналитического выражения функции f(х), заданной таблично, а требуется лишь определить значение в некоторой точке х*, отличной от узловых точек. Этот метод заключается в последовательной линейной интерполяции. Процесс вычисления f(x*) состоит в следующем: необходимо пронумеровать узлы интерполяции, например, в порядке убывания их от х*. Затем для каждой узловой точки интерполяции строятся соотношения:

которые является интерполяционными полиномами, построенными соответственно по узлам х_i, х_j, х_k. Продолжая этот процесс, имеем следующий полином:

   (5.7)

Полученный полином является интерполяционным полиномом, построенный по узлам х_i, x_j, …, х_k, х_m. Это утверждение верное, так как Р_n-1^{ij… k}(х) и Р_{n- 1}^j…km(x) являются интерполяционными полиномами. При его реализации предполагается, что функция гладкая, а также критерием оценки погрешности определяется некоторое значение, определяемое условиями конкретной задачи.

5.6.6. Чебышевская интерполяция

Метод Чебышева был создан для оптимального выбора узлов интерполяции, если это возможно при решении конкретной задачи, и для получения минимально возможной погрешности аппроксимации. Предполагается, что в выборе расположения узлов интерполяции ограничений нет, и предполагается, что узлы выбираются произвольно. Ставится задача о наилучшем выборе узлов. Наилучшими узлами х, следует признать те, для которых выражение max_[a,b]| ω_n(x)| минимально для рассматриваемого класса функций (алгебраических полиномов). Определение этих узлов сводится к нахождению корней полинома, наименее уклоняющихся от нуля на [a, b]. Такой полином порождается полиномом Чебышева первого рода T_n+1.

Полиномы Чебышева определены в интервале [-1,1]. Для перевода интерполяции в интервале