Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Средства Maple 9.5 весьма удобны для визуализации геометрических построений.

Примером наглядного геометрического представления математических понятий является визуализация известной теоремы Пифагора (рис. 8.62).

В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата.

Рис. 8.62. Графическая иллюстрация к теореме Пифагора

8.10.2. Визуализация построения касательной и перпендикуляра

В ряде геометрических построений нужно строить касательную и перпендикуляр к кривой, отображающей произвольную функцию f(x) в заданной точке х=а. Рисунок 8.63 поясняет, как это можно сделать. Линии касательной Т(х) и перпендикуляра N(x) определены аналитически через производную в заданной точке.

Рис. 8.63. Построение касательной и перпендикуляра к заданной точке графика функции f(x)

Во избежание геометрических искажений положения касательной и перпендикуляра при построении графика функцией plot надо использовать параметр scaling=constrained.

8.10.3. Визуализация вычисления определенных интегралов

Часто возникает необходимость в геометрическом представлении определенных интегралов в виде алгебраической суммы площадей, ограниченных кривой подынтегральной функции f (x), осью абсцисс х и вертикалями х=a и х=b (пределами интегрирования). При этом желательно обеспечение закраски верхней и нижней (отрицательной и положительной) площадей разными цветами, например, зеленым для верхней площади и красным для нижней. Как известно, численное значение определенного интеграла есть разность этих площадей.

К сожалению, в Maple 8 нет встроенной функции, явно дающей такое построение. Однако ее несложно создать. На рис. 8.64 представлена процедура a_plot, решающая эту задачу. Параметрами процедуры являются интегрируемая функция f(x) (заданная как функция пользователя), пределы интегрирования а и b и пределы слева am и справа bm, задающие область построения графика f(x).

Рис. 8.64. Графическое представление определенного интеграла

Рисунок 8.64 дает прекрасное представление о сущности интегрирования для определенного интеграла. Приведенную на этом рисунке процедуру можно использовать для подготовки эффектных уроков по интегрированию разных функций.

8.11. Расширенная техника анимации

8.11.1. Анимирование разложения функции в ряд Тейлора

Анимация позволяет повысить наглядность некоторых математических операций. Обычно для этого используются функции animate и animate3d пакета расширения plots, загружаемые командой with(plots). Пример этого представлен на рис. 8.65. Этот документ внизу показывает кадр анимированного процесса улучшения приближения синусоидальной функции рядом с различным числом членов (и порядком последнего члена ряда).

Рис. 8.65. Анимационная демонстрация приближения синусоиды рядом с меняющимся числом членов

Результирующая картина, показанная на рис. 8.65, показывает как приближаемую синусоидальную функцию, так и графики всех рядов, которые последовательно выводятся в ходе анимации.

8.11.2. Анимирование разложения импульса в ряд Фурье

Анимирование изображений является одним из самых мощных средств визуализации результатов моделирования тех или иных зависимостей или явлений. Порою изменение во времени одного из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической или физической сути.

Здесь мы расширим представление об анимации и рассмотрим не вполне обычный пример — наблюдение в динамике за гармоническим синтезом некоторой произвольной функции f(x) на отрезке изменения x от 0 до 1. Значения функции f(x) могут быть одного знака или разных знаков. В этом примере можно наблюдать в динамике синтез заданной функции рядом Фурье с ограниченным числом синусных членов (гармоник) — до 1, 2, 3...N. На рис. 8.66 представлен документ, реализующий такое разложение и затем синтез для пилообразного линейно нарастающего импульса, описываемого выражением f(x)=-1+2*x. На графике строится исходная функция и результат ее синтеза в динамике анимации.

Рис. 8.66. Один из первых стоп-кадров анимации разложения импульса в ряд Фурье

Рис. 8.67 показывает завершающий стоп-кадр анимации, когда число гармоник N равно 30. Нетрудно заметить, что такое число гармоник в целом неплохо описывает большую часть импульса, хотя в его начале и в конце все еще заметны сильные отклонения.

Рис. 8.67. Второй (завершающий) кадр анимации

Для f(x) = 1 строится приближение для однополярного импульса с длительностью 1 и амплитудой 1, при f(x)=x приближение для пилообразного линейно нарастающего импульса, при f(x)=x^2 — приближение для нарастающего по параболе импульса, при f(x) = signum(x-1/2) — приближение для симметричного прямоугольного импульса — меандра и т.д. Фактически можно наблюдать анимационную картину изменения формы импульса по мере увеличения числа используемых для синтеза гармоник. Выбор используемого числа гармоник осуществляет амплитудный селектор — функция af(t, k), основанная на применении функции Хевисайда.