Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

спиралеобразной траектории. Получен как график траектории движения частицы, так и аналитические уравнения, описывающие это движение.

11.2.3. Разделение изотопов

Рассмотрим еще одну классическую задачу ядерной физики — разделение изотопов (атомов с одинаковым зарядом ядра, но разной массой). Документ с решением этой задачи представлен в файле izotop. Он реализует масс-спектроскопический метод.

Итак, пусть из точки А вылетают однозарядные ионы (q=e=1,6∙10^-19 Кл) разной массы (от 20 до 23 а.е.м.) и под разными углами в пределах от 80 до 100° к оси х в плоскости ху (рис. 11.25). Вдоль оси z приложено магнитное поле В=10^-2 Тл. Рассчитать траектории полета частиц. Будем надеяться, что это подскажет способ разделения изотопов.

Рис. 11.25. Иллюстрация к методу разделения изотопов

Приступим к решению данной задачи. Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу F=q(E+[v, B]). Проекции векторного произведения [v, В] на оси х, у, z заданы выражениями:

[v, В]х = vy*Bz-vz*By [v, В]у = vz*Bx-vx*Bz [v, B]z = vx*By-vy*Bz

В соответствии с этим дифференциальные уравнения, описывающие траекторию полета частицы по осям х, у, z имеют вид:

> restart;
> sys:=diff(х(t),t$2)=q*(Ex+(diff(y(t), t) * Bz-
diff(z(t), t)*By))/massa,diff(y(t),t$2)=q*(Ey+(diff(z(t),t)* Bx-
diff(x(t),t)*Bz))/massa,diff(z(t),t$2)=q*(Ez+(diff(x(t),t) * By-
diff(y(t),t)*Bx))/massa;

Зададим исходные числовые данные для расчета:

> q:=1.6e-19:V:=1e4:
> Vx:=V*cos(alpha): Vy:=V*sin(alpha): Ex:=0: Ey:=0: Ez:=0:
Bx:=0: By:=0: Bz:=1e-2:

Выполним решение составленной выше системы дифференциальных уравнений:

> xyz:=dsolve{(sys,х(0)=0,D(х)(0)=Vx,у(0)=0,D(у)(0)=Vy,
z(0)=0, D(z)(0)=0},{х(t), у(t), z(t)}, method=laplace):
> XX:=(massa,alpha)->.6250000000e25*massa*(sin(alpha)-
1.* sin(alpha)*cos(.1600000000e-
20 * t/massa)+cos(alpha)*sin(.1600000000e-20*t/massa));
> YY:=(massa,alpha)->.6250000000e25*massa*(-
1.*cos(alpha)+cos(alpha)*cos(.1600000000e-20*t/massa) + sin(alpha) * sin(.1600000000e- 20*t/massa));

Построим графики решения:

> aem:=1.67e-27: ur:=3.14/180:
> plot([[XX(20*aem,80*ur), YY(20*aem,80*ur),
t=0..10e-5], [ХХ(20*aem,90*ur), YY(20*aem,90*ur),
t=0..10e-5], XX(28*aem, 80*ur), YY(28*aem, 80*ur),
t=0..10e-5], [XX(28*aem,90*ur),YY(28*aem,90*ur),
t=0..10e-5], [XX(24*aem,80*ur), YY(24*aem,80*ur),
t=0..10e-5], [XX(24*aem,90*ur), YY(24*aem,90*ur),
t=0..10e-5]], view=[0..0.65,0..0.65],
color=[red,red,blue,blue,black,black],labels=[x,y]);

Эти графики показаны на рис. 11.26.

Рис. 11.26. Траектории движения частиц

Полученные графики (рис. 11.26) наглядно показывают на одну из возможностей разделения изотопов. Как говорится, осталось подставить «стаканчик» в нужное место для ловли нужных изотопов. Разумеется, это только изложение идеи одного из методов разделения изотопов. Увы, на практике приходится использовать сложнейшие и дорогие физические установки для решения этой актуальной задачи.

11.2.4. Моделирование рассеивания альфа-частиц

Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа-частицами с высокой энергией. Если бы «массивных» ядер не существовало, то альфа-частицы должны были бы спокойно пролетать тонкую фольгу, практически не отклоняясь. Однако, как физики и ожидали, некоторая часть частиц испытывала сильное отклонение и даже поворачивала назад. Очевидно, что имели место отскоки (упругие столкновения) с малыми, но массивными ядрами металла фольги.

В нашем распоряжении, увы (а может быть и к счастью), нет ускорителя альфа-частиц. Так что мы, не опасаясь облучения и очередной Чернобыльской катастрофы, сможем смоделировать это интереснейшее физическое явление с помощью математической системы Maple. Причем спокойно сидя перед своим домашним компьютером и глубокомысленно наблюдая за траекториями полета альфа-частиц (см. файл rasseiv).

Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа-частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Au. Прицельное расстояние р равно 2∙10^-15 м.

Приступим к решению задачи и зададим вначале систему дифференциальных уравнений для траектории альфа-частицы:

> restart;
> sys:=diff(x(t),t$2)=q1*q2*x(t)/(4*Pi*E0*massa*
(x(t)^2+у(t)^2)^(3/2)), diff(y(t),t$2)=q1*q2*y(t)/(4*Pi*E0*
massa*(x(t)^2+y(t)^2)^(3/2));

Введем исходные числовые данные для вычислений:

> q1:=2*1.6е-19:q2:=79*1.6е-19:massa:=4*1.67е-27:Е0:=8.85е-12:
а:=4е-13:р:=5е-15:Т:=4е6*1.6e-19:V0x:=sqrt(2*T/massa):

Создадим графическую структуру решения нашей системы дифференциальных уравнений для нескольких расчетных отклонений линии движения альфа-частицы от центра ядра атома, находящегося на ее пути:

> with(DEtools):ss:=DEplot({sys},{y(t),x(t)}, t=0..7e-20, [[x(0)=-a, D(x)(0)=V0x, y(0)=p, D (y)(0)=0],