Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

3.2. Работа с математическими функциями

3.2.1. Понятие о функциях

Более двух сотен лет тому назад в обиход математиков пришло понятие функции, как некоторой зависимости одной величины, например f или у, от другой величины — независимой переменной х или t. Функции стали обозначать как f(x), f(t), y(x) и т.д. Могут быть и функции ряда переменных, например вида f (х, у, z, …). Хотя эти понятия не являются полными, мы ограничимся ими, помня, однако, что функции могут быть определены в различных интервалах изменения их аргументов.

В Maple функция это имеющий уникальное имя (идентификатор) объект математического выражения, выполняющий некоторое преобразование своих входных данных, представленных списком входных параметров. Суть этого преобразования соответствует некоторой функциональной зависимости возвращаемого функцией значения от входных параметров функции. Например, функция sin(x) возвращает значение, которое является синусом входного параметра х. Таким образом, признаком функции является возврат ею некоторого значения.

Входные параметры изначально являются формальными и представляются именами некоторых переменных. Особенностью функции является возврат ее значения в ответ на обращение к функции по имени с указанием фактических параметров в списке параметров функций. Фактические параметры могут быть различными константами, определенными переменными и даже вычисляемыми математическими выражениями.

К примеру, sin(x) является синтаксической формой записи математической функции синуса — sin(x). При этом х — формальный параметр. А уже в выражении sin(1.0) числовая константа 1.0 является фактическим параметром в виде вещественного числа, причем sin(1.0) возвращает численное значение синуса угла в 1 радиан. Функция atan2(x, y) является примером функции, имеющей список из двух формальных параметров — х и у.

Как правило, в системах символьной математики принципиально важно, как записан фактический параметр. Например, число 1. или 1.0 является вещественным, на что указывает разделительная точка. Если число представлено в виде 1, то оно рассматривается как целое и константа. Большинство систем символьной математики не вычисляет выражения вида sin(1) или sin(π/2), а выводит их в исходном виде. Это связано с тем, что такой вид дает о значении функции гораздо больше информации, чем просто ее вычисленное значение.

Благодаря свойству возврата значений функции применяются для построения математических выражений наряду с операторами. Например, математическое выражение 2*sin(x) содержит функцию sin(x) и оператор умножения *. Математические выражения могут быть как очень простыми (наподобие приведенного), так и очень сложными, включающими в себя операторы интегрирования, дифференцирования и иные специальные операторы и функции, а также сложную многоуровневую систему скобок.

Функции обычно подразделяются на четыре типа:

• встроенные в ядро системы предопределенные функции или внутренние функции;

• функции пользователя;

• библиотечные функции, вызываемые из пакетов или библиотек расширения системы, например sin(x) или ln(x);

• функции, заданные в виде программного модуля.

Кроме того, функции могут классифицироваться по характеру производимых ими преобразований входных параметров. Они делятся на алгебраические, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические, обратные гиперболические, специальные и так далее.

В математических системах Maple функции могут применяться со специальными директивами и опциями. Они могут задаваться как дополнительный параметр функции.

3.2.2. Математические выражения

Математические выражения это сложные (комбинированные) объекты, которые состоят из операторов, операндов и функций со списками их параметров. Например, в выражении (2+3)*sin(x) скобки ( ) и знаки + и * являются операторами, константы 2 и 3 — операндами, sin(x) — встроенной функцией, а х — входным параметром функции. Для оператора умножения выражение (2+3) и функция sin(x), т.е. по существу тоже выражение, являются операторами. Приоритет функций более высокий, чем у операторов.

В системах для численных расчетов математические выражения применяются в естественном виде и в разборе их структуры нет особой необходимости. Исключение составляет разве что анализ скобок, меняющих приоритет выполнения операций в выражениях.

Иное дела системы символьной математики. У них в ходе вычислений выражения эволюционируют, то есть видоизменяются по мере выполнения расчетов. Это может приводить к весьма неожиданным последствиям, например, когда сложнейшее выражение упрощается к 0 или 1, а внешне совсем не страшное выражение разворачивается так, что не помещается в десятке страниц экрана. Набор средств по разбору структуры и преобразованиям математических выражений в таких системах настолько велик, что всерьез разобраться с ними под силу математику-аналитику или достаточно опытному пользователю. Поэтому мы оставим рассмотрение функций анализа выражений на потом — оно будет дано при описании средств символьной математики.

3.2.3. Работа с элементарными функциями в системе Maple

Maple имеет полный набор элементарных математических функций [38–41]. Все они, кроме арктангенса двух аргументов, имеют один аргумент х, например sin(x). Он может быть целым, рациональным, дробно-рациональным, вещественным или комплексным числом. В ответ на обращение к ним элементарные функции возвращают соответствующее значение. Поэтому они могут быть включены в математические выражения. Все описанные здесь функции называются встроенными, поскольку они реализованы в ядре системы.

Как правило, если аргументом функции является фундаментальная константа, целое или рациональное число, то функция выводится с таким аргументом без получения результата в форме действительного числа с плавающей точкой. Например (файл calcfun):

> sin(Pi);

0

> sin(1);

sin(1)

> exp(1);

e

> ln(2);

ln(2)

> ln(Pi);

ln(π)