Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

f: = (х, у, z) → х е^у + ln(z)

> D[1](f);

(x,y,z) → e^y

> D[2](f);

(x,y,z) → xe^y

> D[3](f);

(x,y,z) → ½

Пример применения дифференциального оператора для функции f, заданной программным объектом-процедурой, представлен ниже:

> restart;
> f:=proc(x,b,n) local i,d,s;
> s:=0;
> for i from n by -1 to 0 do s:=s*x+b[i] od;
> s
> end:
-> D[1](f);

proc(x, b, n)

 local i, s, sx;

 sx := 0;

 s := 0;

 for i from n by -1 to 0 do sx

  sx := sx×x + s;

  s := sx×x + b[i]

 end do;

 sx

end proc

Этот пример показывает реализацию схемы Горнера для полинома b степени n от переменной х. При этом применение оператора дифференцирования возвращает процедуру. Ряд интересных возможностей по вычислению производных предоставляет пакет расширения student.

4.3.4. Импликативное дифференцирование

Иногда подлежащая дифференцированию зависимость задана импликативно, т.е. в виде уравнения f. Для дифференцирования таких зависимостей служит функция, используемая в виде:

implicitdiff(f,у,х)
implicitdiff(f,у,x1,...,xk)

Примеры применения импликативного дифференцирования приведены ниже (файл impldiff):

> f1 := х*у=1:implicitdiff(f1, у, x);

> subs(y=1/x,%);

> f2:=2*х^4-3*х^2*у^2+у^4=16:implicitdiff(f2, у, х);

> f3:=x*cos(у)+y*cos(х)=1:implicitdiff(f3,у,x);

В справке по этой функции можно найти более сложные формы записи этой функции и дополнительные примеры ее применения.

4.3.5. Maplet-вычислитель производных Derivatives

При обучении основам математического анализа удобны обучающие средства на основе Maplet- технологии. Эти новые средства (их не было даже в Maple 9) размещены в позиции Tools меню системы Maple 9.5 при ее применении в стандартном виде. Команда Tools→Tutors Calculus-Single Variables→Derivatives… открывает окно Maple-вычислителя производных, показанное на рис. 4.1.

Рис. 4.1 Окно Maplet-вычислителя производных

В окне можно в интерактивном режиме задать выражение для функции f(x), вычислить производную f'(x) и, нажав кнопку Dispay, получить графики заданной функции и ее производной в заданных пределах изменения х от а до b. При закрытии окна графики появляются в текущей строке вывода системы Maple 9.5.

4.3.6. Maplet-инструмент по методам дифференцирования

При изучении раздела производных в курсе математического анализа особое значение имеют навыки учащегося в пошаговом дифференцировании выражений в аналитическом виде. В то время, как инженера или научного работника часто удовлетворяет конечное выражение при дифференцировании заданного выражения, учащегося не в меньшей (а порою в куда большей) мере интересуют детали промежуточных вычислений.

Такую возможность обеспечивает инструмент Differentiate Methods… по методам аналитического дифференцирования производных. Для открытия его окна надо исполнить команду Tools→Tutors Calculus-Single Variables→Differentiate Methods…. Это окно показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Окно Maplet-инструмента по методам дифференцирования

Окно имеет свое меню, область задания функции Function заданной переменной, область вывода функции и результатов ее преобразований и область с кнопками, позволяющими задавать правила дифференцирования и наблюдать результаты их выполнения. Можно задать выполнение всех шагов дифференцирования сразу по всем шагам (кнопка All Steps) или запустить дифференцирование раздельно по шагам (кнопка Start).

С помощью кнопки Hint можно вызвать советы по дифференцированию и применить их активизацией кнопки Apply Hint. В поле Differentiate Rules (Правила дифференцирования) имеется множество кнопок, позволяющих применить те или иные правила дифференцирования заданного выражения и опробовать их эффективность. Таким образом имеется возможность выполнить дифференцирование в аналитическом виде различными методами, задаваемыми пользователем. Пример на рис. 4.2 показывает дифференцирование функции f(x)=sin(x)*exp(-х). Представлены шаги дифференцирования и конечный результат.

4.4. Вычисление интегралов