Занимательная математика

невысокого седоголового человека, о котором говорили, что он отставной профессор математики.

— Ну разве мой сын не умница? — со смешанными чувствами подумал Сэм-старший. — Насколько мне помнится, тот пожилой джентльмен всегда проигрывал, несмотря на все свои познания в математике.

Отыскав имя и адрес профессора в книге регистрации членов клуба, Сэм-старший в тот же вечер постучал в дверь дома, где жил профессор.

— Хочу сделать вам предложение, — заявил Сэм профессору. — Я берусь оплатить все ваши долги в клубе, если вы поможете мне решить одну математическую задачу.

И Сэм-старший поведал профессору свои затруднения.

— Очень любезно с вашей стороны, — ответил профессор, потирая руки. — Трюк, к которому прибег ваш сын, известен в теории вероятностей под названием Петербургского парадокса и был придумал швейцарским математиком Леонардом Эйлером, состоявшим в ту пору на службе при российском императорском дворе. Не сочтите за нескромность, но могу ли я спросить, сколько денег на вашем банковском счете?

— Но я вовсе не желаю выплачивать все свои деньги этому мальчишке!

— А вам и не придется этого делать! Размеры вашего банковского счета необходимы мне для того, чтобы оценить, сколько раз вам придется сыграть в вашу игру.

Суть дела заключается в следующем: хотя абсолютно верно, что за каждое последующее бросание монеты вы должны платить сыну по 1 доллару, учитывать вы должны только то количество бросаний, которое вам по силам оплатить до того, как вы полностью разоритесь и станете банкротом.

Если вы сыграете с сыном п игр, все время проигрывая, то вам придется уплатить сыну 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2ⁿ долларов. Это не что иное, как геометрическая прогрессия и ее сумма равна числу 2, умноженному на самого себя столько раз, сколько игр вы сыграете, плюс еще 1 раз, минус 2. Математически это можно записать как

Это число очень быстро возрастает с числом бросаний монеты.

Пример: если вы неправильно угадаете исходы 10 первых бросаний, то вам придется уплатить сыну 2ⁿ⁺¹ — 2 при п = 10, т. е. 2^{n — 2} = 2046 долларов. Думаю, что на вашем счете в банке денег больше?

— Да, у меня около полумиллиона долларов, — откровенно признался Сэм.

— Чтобы проиграть полмиллиона долларов, вам потребуется подряд не угадать исходы 18 бросаний монеты. Если вы не угадаете исход 19-го бросания, то у вас не хватит денег, чтобы расплатиться. Поэтому ваш сын может рассчитывать не более чем на 18 бросаний, а вы должны уплатить ему 18 долларов. Можете сделать это завтра утром.

— Миллион благодарностей, профессор! — воскликнул Сэм-Игрок. — Жаль, что сын уже почти взрослый, и я не могу выпороть его ремнем! Восемнадцать долларов были бы очень кстати! Всего доброго, сэр! Буду счастлив оплатить все ваши долги в клубе!

3. Старый машинист

Проходящие поезда

В небольшом городке на северо-западе США жил вышедший на пенсию машинист Уильям Джонсон. Железнодорожная магистраль, на которой он прослужил долгие годы, проходила через городок. Мистера Джонсона мучила бессонница и он частенько просыпался среди ночи и не мог заснуть до утра. Иногда в подобных случаях мистер Джонсон отправлялся на прогулку по пустынным улицам городка и неизменно приходил к переезду. Там он стоял, задумчиво глядя на рельсы, пока мимо, словно возникнув из ночной тьмы, не проносился поезд. При виде мелькающих вагонов на душе у мистера Джонсона становилось легче, он брел к себе домой и с высокой вероятностью засыпал.

Спустя некоторое время мистер Джонсон сделал прелюбопытное наблюдение: большинство поездов, которые он видел на переезде, шли в восточном направлении и лишь немногие — в западном, между тем мистеру Джонсону было прекрасно известно, что на этой линии на восток и на запад ходило одинаковое количество поездов, причем восточные b западные поезда чередовались. Мистер Джонсон уже было решил, что ошибся в своих подсчетах и, чтобы избавиться от сомнений, обзавелся блокнотом, в котором стал отмечать буквами «В» и «3» проходившие мимо поезда в зависимости от того, в каком направлении они шли.

К концу первой недели набралось пять «В» и только две «3». Наблюдения на следующей неделе дали такое же соотношение.

— Может быть, все дело в том, что я просыпаюсь ночью в одно и то же время, подумал, мистер Джонсон, и прихожу к переезду незадолго до прохождения поездов, идущих на восток?

Озадаченный, мистер Джонсон решил предпринять строгое статистическое изучение проблемы и распространить наблюдения на дневное время. Он попросил своего приятеля составить для него длинный перечень произвольно выбранных моментов времени, например 9.35 утра, 12.00 — полдень, 3.07 дня и т. д., и, стоя у желез подорожного переезда, скрупулезно отмечал поезда, проходившие в указанное в перечне время на восток или на запад. Но все было тщетно: результат оказался тем же, что и прежде. Из ста поездов, проследовавших через переезд мимо мистера Джонсона, около семидесяти пяти шли на восток и только двадцать пять — на запад. В отчаянии мистер Джонсон даже позвонил в депо ближайшего большого города, пытаясь выяснить, не направлялись ли восточные поезда по какой-нибудь другой линии, но его заверили, что ничего подобного не происходило, все поезда следуют точно по расписанию и что поездов, идущих в восточном направлении, ровно столько же? сколько идущих на запад. Таинственное предпочтение поездов к направлению на восток довело мистера Джонсона до отчаяния.

Он совсем потерял сон и тяжело заболел.

Местный врач, к которому обратился мистер Джонсон, был большим любителем математики и на досуге собирал задачи-головоломки.

— Это что-то новенькое, — заключил он, когда мистер Джонсон поведал ему о причинах своих треволнений. — Впрочем, минуту! Ведь должно же существовать какое-то рациональное объяснение!

И, поразмыслив несколько минут, врач дал правильное объяснение мучившей мистера Джонсона головоломке.

— Видите ли, — начал врач свое объяснение, — все дело именно в том, что поезда идут строго по расписанию, хотя вы и приходите к железнодорожному переезду в случайно выбранные моменты времени.

Предположим, что поезда, идущие на восток, проходят через переезд в начале каждого часа, а поезда, идущие на запад, — каждый час с четвертью. Пусть число поездов, идущих на восток и на запад, будет одинаковым. Выясним теперь, какой поезд первым пройдет мимо вас, когда вы встанете у переезда. Если вы прибудете после начала часа, но не позже, чем час с четвертью, скажем, между 1.00 и 1.15, то первым мимо вас проследует поезд на запад, т. е. поезд, проходящий в 1.15. Но если вы опоздаете к этому поезду, то следующий поезд пройдет в 2.00 на восток.

Так как вы приходите на переезд в случайно выбранные моменты времени, то вероятность того, что вы прибудете в первую четверть часа, в три раза меньше, чем вероятность, что вы прибудете в остальные три четверти часа. Следовательно, вероятность, что первый поезд пройдет на восток, в три раза больше, чем вероятность, что он пройдет на запад. Именно это вы и наблюдали.

— Но я не понимаю, — возразил мистер Джонсон. — Если вероятность встретить поезд,