т. е. порядкового номера месяца, дня месяца и года.
При записи года у вас будет выбор: либо брать две последние цифры, либо все четыре. Примерно два дня из каждых девяти (принадлежащих записи года) оказываются пригодными для образования числа, числовой корень которого равен девяти. В один из таких дней вы можете показать этот фокус. Допустим, что ваша дата 29 марта 1958 года. Попросите кого-нибудь записать ее в виде 29.3.58. Так как эта группа чисел имеет своим цифровым корнем девятку, вы можете продолжать далее, как в только что описанном фокусе с денежной бумажкой, или выбрать другую процедуру, не меняющую цифровой корень.
Отгадывание возраста
Интересный способ узнавания возраста некоторого лица начинается с того, что его просят выполнить ряд каких-нибудь действий, приводящих к числу, имеющему своим цифровым корнем девятку. Затем предлагают прибавить к полученному числу свой возраст и сообщить вам сумму. По этой сумме легко узнать возраст зрителя. Сначала найдите цифровой корень суммы. Затем прибавляйте к нему девятки до тех пор, пока полученное число не покажется вам наиболее близким к возрасту вашего собеседника. Это число и будет искомым возрастом. Допустим, например, что вы попросили зрителя написать любое число и умножить его на 9, после чего у него получилось 2826. К этому числу он добавил 40, свой возраст, и сообщил вам сумму: 2866. Цифровой корень этого числа равен 4; добавляя к четверке девятки, получим числа 13, 22, 31, 40, 49 и т. д., поскольку с точностью до 9 лет оценить возраст нетрудно, вы устанавливаете, что правильным ответом будет 40.
Бухгалтеры-ревизоры часто проверяют правильность сложения и умножения при помощи цифровых корней. Например, сложение можно проконтролировать так: сначала найти цифровой корень всей совокупности цифр, входящих в слагаемые, а затем цифровой корень суммы. Если последняя была найдена правильно, корни должны совпасть. Это обстоятельство можно использовать для фокуса следующим образом.
Фокус со сложением
Попросите кого-нибудь составить задачу на сложение, выписывая несколько многозначных чисел в столбик, одно под другим. Напрактиковавшись, вы сможете исключать девятки почти с такой же скоростью, с какой выписываются цифры, так что к концу составления задачи цифровой корень совокупности всех чисел будет вам известен. Затем вы поворачиваетесь спиной и просите произвести сложение. Если теперь зритель обведет кружком какую-нибудь цифру результата (не нуль), а остальные назовет в произвольном порядке, вы сможете объявить отмеченную цифру. Для этого нужно будет найти цифровой корень группы цифр, названных зрителем, а затем вычесть его из цифрового корня, найденного вначале (вы должны были его запомнить). Если второй корень окажется больше первого, добавьте перед вычитанием к первому корню девятку. Если корни окажутся одинаковыми, отмеченная цифра была, конечно, девяткой.
Фокус с умножением
Подобный же фокус можно проделать, составив задачу на умножение; здесь мы будем опираться на тот факт, что цифровой корень произведения цифровых корней двух сомножителей равен цифровому корню произведения этих сомножителей. Итак, вы можете попросить кого-нибудь записать достаточно большое число, скажем, пяти- или шестизначное, и подписать под ним другое большое число. Следя за тем, как пишутся числа, вы определяете цифровые корни обоих сомножителей, перемножаете их и находите цифровой корень произведения.
Теперь вы поворачиваетесь спиной и предлагаете зрителю перемножить записанные им числа. Затем просите его обвести кружочком любую цифру результата (за исключением нуля) и назвать вслух остальные цифры в любом порядке. Как и в предыдущем фокусе, вы узнаете отмеченное число, вычитая цифровой корень совокупности названных зрителем цифр из цифрового корня, который вы должны были запомнить.
Если второй корень будет больше первого, опять-таки перед вычитанием добавьте к первому из них девятку.
Тайна семерки
Все «таинственные» свойства девятки объясняются тем простым фактом, что эта цифра является последней в употребляемой нами десятичной системе счисления. В восьмеричной системе счисления такими же любопытными свойствами обладает семерка. Это утверждение легко проверить. Прежде всего составим список шестнадцати чисел, обозначая их в восьмеричной системе, и выпишем рядом их эквиваленты в десятичной системе.
Предположим, что мы взяли число 341 (запись в восьмеричной системе) и вычли из него число 143, полученное обращением порядка записи цифр. Сначала отнимем 3 из 11. В десятичной системе это означало бы то же, что отнять 3 из 9. В ответе получилось бы 6. Но цифра 6 в обеих системах счисления обозначает одно и то же число, поэтому разность между 11 (запись в восьмеричной системе) и 3 равна 6. Продолжая далее вычитание этим же путем, получим в ответе 176 (запись в восьмеричной системе):
Вы замечаете, что цифрой, стоящей посередине, является семерка и что сумма крайних цифр тоже равна семи. Здесь происходит в точности то же самое, что и в варианте этого фокуса для десятичной системы, который мы описывали ранее, за исключением того, что ключевым числом является семерка, а не девятка.
Аналогичной проверке можно подвергнуть и все другие фокусы, основанные на свойствах девятки в десятичной системе. При этом для каждого из них найдется соответствующий фокус в восьмеричной системе, но роль «таинственного числа» будет принадлежать семерке. Выбирая соответствующую систему счислений, можно перенести особые свойства на любое желаемое число. Таким образом, становится очевидным, что эти свойства вытекают не из внутренних особенностей девятки, а только из того факта, что она является последней цифрой в нашей десятичной системе счисления.
Смешивание внутренних свойств числа с свойствами, вытекающими из его местоположения в данной системе счисления, является обычной ошибкой. Так, одно время думали, что по каким-то скрытым причинам среди цифр, изображающих бесконечную непериодическую десятичную дробь, обозначающую число я, семерка встречается в среднем реже других цифр. «Существует только одно число, настолько неравноправное среди других чисел, что невероятно, чтобы это могло быть случайностью, — писал доктор Огастес де Морган, — и это число есть таинственная семерка». Де Морган гчсал это, конечно, не всерьез; он хорошо знал, что цифры числа я в другой системе счисления будут совершенно отличными. В действительности даже в десятичной системе кажущейся редкость появления семерки в числе я объясняется ошибкой, допущенной Уильямом Шенксом при вычислении этого числа. В 1873 году, после пятнадцати лет упорного труда, Шенкс вычислил число π с семьсот семью десятичными знаками (ошибка, допущенная им на 528-м знаке, свела на нет все последующие вычисления). В 1949 году вычислительная машина ЭНИАК, так сказать, в виде отдыха от более сложных заданий вычислила π более чем с 2000 верными десятичными знаками. При этом никаких «таинственных» отклонений в частоте появления какой-нибудь цифры обнаружено не было[28]).
Предсказание суммы
Можно ли знать наперед сумму, которая получится в результате сложения чисел, произвольно заданных присутствующими в аудитории? Фокусники придумали много остроумных решений этой задачи, которыми мы здесь не собираемся заниматься, так как они основаны на использовании подставных лиц, ловкости рук и других приемах нематематического характера.
Если же дать показывающему право называть слагаемые, чередуясь со зрителем, то он может получить желаемую сумму, не пользуясь при этом никакими нематематическими средствами. Самый
