Мы еще не раз будем говорить о том, что и такое искусство в действительности глубоко содержательно, что деление на 'изобразительные' и 'неизобразительные' виды искусства весьма условно (см. ниже, например, с.102). Нам важно, однако, подчеркнуть возможность отсутствия в произведении искусства материала для конкретного познания новых фактов.
6
Можно было бы думать, что гегелевское определение говорит лишь о том, что истина в искусстве предстает в чувственной форме, но воспринимается также и интеллектуально. Однако такое толкование подходило бы и для определения науки: в основе ее построения лежат тоже непосредственно-чувственные восприятия объективного мира (других не существует). Поэтому гегелевское определение может специфически выделять искусство ('определять понятие', говоря его же словами), только если интеллектуальный элемент в восприятии имеет второстепенное, несущественное значение и необязателен.
7
'Исчисление высказываний' в математической логике допускает разные системы, однако, условившись об одной определенной системе, мы придем к однозначному результату (см. подробнее ниже, гл.8).
8
Математик Гильберт в начале ХХ века сформулировал ряд задач: требовалось доказать справедливость некоторых математических утверждений, которые, возможно, являются верными, или опровергнуть их. На протяжении последующих десятилетий некоторые из этих задач были решены, другие еще ждут решения. Великая теорема Ферма не доказана и не опровергнута уже более трех веков.
9
Таким образом, даже в психологическом отношении они хотя и близки, но не равноценны. Предлагая некоторое положение в качестве интуитивной догадки, исследователь немногим рискует и может выдвигать его довольно спокойно: правильность или ложность этой догадки может быть надежно и безусловно обнаружена. 'Философское' же интуитивное суждение, которое может быть проверено только неизбежно ограниченным опытом, находится под постоянной угрозой опровержения в результате расширения опыта. Это верно и в том случае, когда суждение состоит в высказывании нового обобщающего физического закона большого значения, и в весьма частных проблемах (см. ниже).
10
Исчисление (принятая система правил логического вывода новых умозаключений) называется полным, если позволяет либо доказать, либо опровергнуть любое утверждение в области, к которой относится данное исчисление. Если использовать это понятие полноты, то теорема Геделя может быть выражена и так: никакое непротиворечивое исчисление не может быть полным относительно арифметики [16, 17].
11
Можно сказать, что математика в целом - 'кусочно-дедуктивная', 'кусочно-формализуемая' теория.
12
Заметим, что когда присяжные выносят свой вердикт, от них никогда не требуют мотивировки. Они должны сказать в ответ на вопрос, поставленный перед ними председателем суда: 'да' или 'нет', 'виновен' или 'не виновен'.
13
О том, как переплетаются и совместно используются упорное анализирующее размышление и синтетическая догадка (интуиция-догадка!), 'идея' в процессе решения математических проблем, хорошо рассказано и продемонстрировано на многочисленных примерах в книге [23].
14
На это можно было бы возразить, что человеческий мозг сам состоит из конечного числа элементов и потому вычислительное устройство той же сложности, казалось бы, способно ко всем тем действиям, которые доступны мозгу. Однако, смоделировав мозг, нужно было бы, кроме того, в это устройство заложить всю информацию, которая содержится в реальном мозгу субъекта, выносящего суждение, т.е. весь накопленный опыт личности, ее воспитание, включая и воспринятый ею опыт человечества. Это эквивалентно выходу за пределы мозга и подключению к нему все новых элементов, описывающих лежащий вне его мир. Такое возрастание числа элементов полной системы может сделать совершенно нереальной передачу процесса формирования интуитивного суждения компьютеру (как об этом говорилось в процитированном на стр.43 высказывании А.Н.Kолмогорова). Все же, когда мы говорим об ограниченном числе элементов, осторожнее будет понимать это слово не в строгом математическом смысле, а как относящееся к компьютеру с огромным (хотя и конечным) их числом, во всяком случае неизмеримо большим, чем число элементов мозга.
15
Правда, ситуация сильно осложняется, если в процессе этой дискуссии учитываются факторы, не несущие в себе числовой меры (настроение, другие психологические факторы и т.п.). Тогда их нужно предварительно формализовать, установив оценочную шкалу. Это само по себе требует внелогического акта, интуиции-суждения (см. ниже гл.5).
16
Когда мы говорим в данном случае (и в других аналогичных местах, например на с.51) об оценке на основании опыта, то слово 'опыт' понимается как совокупность всех знаний, 'полузнаний', восприятий, переживаний, ассоциаций и результатов практической деятельности, накопленных выносящей суждение личностью или человечеством в целом.
17
Вряд ли стоит оговаривать, что под догматическим материализмом Эйнштейн понимал единственно известный ему механистический материализм, а под логикой - формальную логику.
