Однако прямые линии вели себя не так, как от них ждали, и в результате математики получили воображаемую внутренне непротиворечивую картину, которая при этом противоречила пятому постулату. Оба математика сочли это нелепым и оставили свои попытки.
Около века спустя трое математиков (россиянин Николай Иванович Лобачевский, венгр Янош Бойяи и немец Иоганн Карл Фридрих Гаусс) пришли к выводу о возможности существования иной, неевклидовой геометрии, в которой соблюдаются четыре первых постулата, а пятый — нет. Но что значит — возможность существования? Она существует до тех пор, пока математики не найдут в ней просчеты или внутренние противоречия. Но можем ли мы воочию увидеть ее, как видим линию, сегмент или окружность? Невооруженным взглядом мы, как бы ни старались, увидим как раз евклидову геометрию. Так как мы поймем, что правильно?
Великий американский математик Рихард Курант (его именем назван математический институт в Нью- Йоркском университете) и его соавтор Герберт Роббинс (профессор
Рутгерского университета) считали, что обе геометрии оказываются практически одинаково пригодными для употребления и для наших целей вполне годится евклидова модель: 'Так как работать с евклидовой геометрией гораздо легче, чем с гиперболической, то мы и пользуемся ею, покуда рассматриваются небольшие (порядка нескольких миллионов миль!) расстояния. Однако нет оснований ожидать, что она наверное оказалась бы подходящей при описании физического мира в целом, во всех его обширных пространствах'[4].
Но как быть, если нам приходится описывать частицу Вселенной — скажем, Землю или яблоко? (Помните: с точки зрения геометра Земля и яблоко, в сущности, одно и то же.) Представим поверхность Земли или, например, яблока плоскостью. Нарисуем на яблоке треугольник. Если применить к поверхности яблока евклидову геометрию, то сумма углов этого треугольника должна будет равняться 180°. Но поскольку поверхность яблока искривлена, то сумма углов получается большей. Это может означать, что пятый постулат Евклида для этой плоскости не действует. Мы увидим, как на искривленной поверхности две прямые, будучи продолжением сегмента, соединяющего две точки кратчайшим путем, пересекутся. Все прямые, проведенные на поверхности яблока (или на поверхности Земли), — это большие окружности с центрами в центре сферы.
Немецкий математик Бернхард Риман в XIX веке разработал геометрию, которая реализуется на плоскостях с [постоянной положительной гауссовой] кривизной, где вместо прямых линий — геодезические и любые две из них пересекаются. Эту геометрию, которую называют эллиптической, или римановой, использовал Эйнштейн в общей теории относительности.
Картина мира по Евклиду была ограниченной и плоской. Наш мир искривлен. Современные люди легко покрывают расстояния достаточно большие для того, чтобы почувствовать на себе кривизну Земли. Конечно, никто из нас не ездит так далеко все время, однако мы можем легко вообразить (а воображение есть место, где вершится математика) кратчайшее расстояние между точками — траекторию авиаперелета, который осуществляется вдоль геодезической линии, даже если прежде этого термина не слышали.
Прямые не длятся бесконечно, а замыкаются, образуя окружности. И разумеется, любые линии пересекаются. То, что казалось абсурдом в XVIII веке, стало точным отражением нашего повседневного опыта. Другими словами, наш мир значительно вырос. Но тут возникли два вопроса: насколько вырос мир и что значит 'больше'?
Здесь на авансцену выходит топология — раздел математики, родившийся в 1736 году в Санкт- Петербурге. Швейцарский математик Леонард Эйлер, работавший тогда в России, освободил геометрию от бремени измерения расстояний. Он напечатал статью, посвященную задаче о семи мостах Кенигсберга. Мэр этого города задал знаменитому математику вопрос: можно ли пройти по всем семи мостам, не проходя ни по одному из них дважды?
Эйлер пришел к выводу, что это невозможно. Он показал также, что в любом городе, где есть мосты, подобную прогулку можно совершить, если и только если нечетное число мостов ведут в два района города (или не ведут ни в один), но нельзя, если нечетное число мостов ведут более чем к двум районам. Третье следствие, к которому пришел Эйлер, решая задачу о мостах, для которой важны координаты места, а не расстояния, — открыло новый раздел математики (Эйлер назвал его 'геометрией поверхностей').
В этой новой дисциплине размер объектов — расстояние в точном смысле слова — не имеет значения. Важно не количество сделанных шагов, а направление, в котором они были пройдены. Решение вопроса о том, что данный объект больше или меньше другого, теперь зависело от количества данных, нужных для его размещения в пространстве, точнее — от координат, описывающих его. Точка нольмерна, линия — одномерна, поверхность наподобие треугольника, квадрата или сферы — двумерна. Это верно: поверхность, которую мы представляем как плоскую, и поверхность, которую мы представляем как выпуклую, топологи, в целях удобства, считают сходными. Это оттого, что когда топологи рассуждают о поверхности сферы или, допустим, яблока, они имеют в виду только поверхность, а не то, что находится внутри сферы или яблока.
Тополога можно сравнить с жуком, ползущим по яблоку, или же с Евклидом, шагающим по земле. Никому из них нет дела до того, что сумма углов описываемого ими треугольника больше 180° или что прямая линия, вдоль которой они идут, не будет длиться бесконечно, а где-нибудь замкнется, образуя большую окружность. Искривленность поверхности, на которой они находятся, — это функция третьего измерения, которое они не воспринимают.
Современные люди, знающие, что Земля — это шар и что его поверхность обладает [положительной] кривизной, живут в трехмерном мире. Но есть и четвертое измерение — время. Однако, поскольку мы не умеем перемещаться во времени, мы не в состоянии обнаружить трехмерную природу собственного существования так, как мы можем следить за животными, живущими в двух измерениях. Мы ограничиваемся исследованием пространства вокруг нас и строим догадки, как все это выглядит из точки, о которой мы можем только догадываться — но попасть в нее или даже вообразить ее мы не можем. В этом заключается суть гипотезы Пуанкаре: последний универсалист предположил, что Вселенная имеет форму трехмерной сферы.
Во время моей работы над книгой один молодой математик давал мне уроки топологии, терпеливо наблюдая, как я мучительно пыталась закрутить ум в трубочку, чтобы постичь основы этой науки. Он презрительно морщился всякий раз, когда речь шла о том, что гипотеза Пуанкаре описывает форму Вселенной. Если говорить точнее, доказательство гипотезы Пуанкаре может оказать неоценимую помощь науке в изучении формы и свойств Вселенной. Но не это занимало Григория Перельмана. Перед ним стояла четко сформулированная еще сто лет назад задача, которую до сих пор никто не решил.
Так же, как моего наставника и многих других математиков, с которыми мне довелось пообщаться, Перельмана нисколько не заботила физическая форма Вселенной или опыт населяющих ее людей. Математика предоставила ему возможность жить среди абстракций в его собственном воображении, и именно там надлежало решить задачу.
В 1904 году Анри Пуанкаре напечатал статью о трехмерных многообразиях. Многообразие — это объект или пространство (существующее в воображении математика, но не обязательно в реальности), которые могут быть разделены на множество отдельных окрестностей. Каждая отдельно взятая окрестность имеет обычную евклидову геометрию, однако все вместе окрестности представляют собой нечто гораздо более сложное.
Лучший пример многообразия — поверхность нашей планеты, запечатленная на нескольких картах, каждая из которых изображает небольшой фрагмент поверхности. Вообразите, например, карту Манхэттена: это несомненно евклидово пространство. Если карты сложить в атлас, то параллельные прямые на них по-прежнему не будут пересекаться, а сумма углов построенных треугольников не будет превышать 180°. Но если бы мы захотели построить из набора этих карт модель Земли, то сначала получили бы многогранный объект, напоминающий дискотечный зеркальный шар. Потом мы сгладили бы углы и в результате получили глобус, отражающий сложную кривизну планеты. Если мы продолжим на глобусе линии Первой и Второй авеню, то они пересекутся — в отличие от евклидова пространства. Эти понятия — карты, атласы, многообразия — являются основой топологии.
Одно многообразие отличается от другого тем, что имеет отверстие (или более чем одно отверстие). Для тополога шар, шкатулка, булка и пузырь суть одно и то же, а бублик — нет. Если воображаемую резиновую ленту (не менее важный для топологического воображения инструмент, чем атлас) надеть на
