доказал, что в случае деформированного шара кривизна поверхности будет не уменьшаться, а, напротив, расти. Это помогло ему показать, что кривизна будет положительной. Но как убедиться в том, что так будет всегда, Гамильтон не знал.
Рассмотрим простую функцию вроде тех, которые вы изучали в школе, например /х. Ее график будет выглядеть как плавная линия, пока не дойдет до точки, в которой х = о. Здесь начинается бедлам: делить на о нельзя: график стремится к бесконечности. Эта точка называется сингулярностью.
Процесс трансформирования метрики, описываемый уравнением, предложенным Гамильтоном, назвали потоками Риччи. Если воздействовать на воображаемую метрику невообразимого шара этим теоретическим инструментом, то могут возникнуть сингулярности.
Гамильтон предполагал, что их можно обойти. Для этого при подходе к ним функцию — поток Риччи — останавливают, вручную исправляют ошибку и возобновляют поток. Когда математики говорят, что они исправили что-то вручную, это означает, что в проблемном месте они воспользовались другой функцией. Похожее часто происходит в компьютерном программировании: в различных условиях пользуются разными функциями. Например, функция всегда равна ху если х равен или больше о, и равна -х во всех случаях, когда х меньше о. В топологии, где воображаемые участвуют в воображаемой деформации воображаемых объектов, такое вмешательство называют хирургией. Поэтому метод, предложенный Гамильтоном, называется потоками Риччи с хирургией.
Гамильтон не был первым математиком, решившим, что он знает, как доказать гипотезу Пуанкаре. И не он первым столкнулся с непреодолимыми препятствиями на пути к доказательству. Чтобы его программа, то есть план доказательства, сработала, истинными должны были оказаться несколько вещей. Во-первых, кривизна поверхности, которую стремился измерить Гамильтон, должна иметь постоянный предел. Если предположить, что это так, то истинность доказательства подтверждается. Но как узнать, что предположение верно? Во-вторых, хотя Гамильтон разработал метод потока Риччи с хирургией и показал, что этот метод эффективен в некоторых случаях, он не смог доказать, что его можно применить к любым сингулярностям. Он размышлял над их классификацией, но не мог найти универсальный способ обезвредить их или даже определить все их разновидности. Так Гамильтон стал еще одним математиком, который делал успехи, но не преуспел и которому, по выражению Моргана и Чигера, стало 'слишком трудно заниматься гипотезой Пуанкаре'.
Сейчас, четверть века спустя, очевидны две вещи: во-первых, в действительности у Гамильтона не было плана доказательства разом гипотезы геометризации и гипотезы Пуанкаре. Во-вторых, его личная трагедия оказалась так же велика, как и его научное достижение: Гамильтон застрял, когда ему было сорок лет, и с тех пор ничуть не продвинулся вперед.
Там, где остановился Гамильтон, начал Перельман. С этого же времени он начал исчезать: все реже посещал семинары, постепенно свел к минимуму присутственные часы в Институте им. Стеклова и в конце концов стал приходить только за зарплатой. Постепенно интенсивность его электронной переписки уменьшилась настолько, что большинство знакомых решило: Перельман — один из тех, кто, однажды прогремев, столкнулся с неразрешимой задачей, был погребен под ней и покинул математику.
Теперь мы знаем, что причина была не в этом. Григорий Перельман закончил изучать математику и желал применить свои знания. Так вышло, что желание учиться или, если быть точным, желание узнавать о математике от других связывало Перельмана с внешним миром. Теперь же полезность мира стремилась к нулю, а следовательно, требования внешней среды стали еще менее обоснованными и вызывали еще большее раздражение, чем прежде. Перельман повернулся к миру спиной, к задаче — лицом.
Мир научил Григория Перельмана заострять внимание на одной проблеме. Гамильтон, по сути, превратил гипотезу Пуанкаре в олимпиадную суперзадачу и, если так можно выразиться, сбил с нее спесь.
В мире ведущих математиков интеллектуальная элита — это люди, которые открывают новые горизонты и формулируют вопросы, на которые пока ни у кого нет ответов. Ступенью ниже стоят те, кто способен указать путь, ведущий к решению этих вопросов (часто это члены элиты, находящиеся внизу карьерной лестницы, например те, кто работает в аспирантуре над диссертацией, доказывая чужие теоремы, но не формулируя пока собственные). И наконец, есть редкие одиночки, которые доводят доказательство до конца — упорные, требовательные и терпеливые математики, которые идут до конца по пути, намеченному другими. Если применить эту классификацию к нашей истории, то Пуанкаре и Терстона следует отнести к первой группе, Гамильтона — ко второй, Перельмана — к третьей.
Так кто же такой Перельман? Человек, которому никогда не попадалась задача, которую он не мог решить. Возможно, работа над пространствами Александрова, которой он был занят в Беркли, стала исключением и Перельман в самом деле тогда застрял. Но возможно, однако, что это был единственный раз, когда он попытался сделать нечто, чтобы взойти с третьей на вторую или даже первую ступень математического Олимпа.
Третья категория сильно напоминает решение олимпиадных задач. Не только само задание было четко сформулировано, но и дополнительные условия: путь к решению, который наметил Гамильтон. Итак, это была очень, очень сложная олимпиадная задача — ее нельзя было решить за несколько часов, недель или даже месяцев. Это была задача, которую, возможно, не мог решить никто, кроме Перельмана, а Перельман как раз искал такую задачу, чтобы заставить работать свой мозг на полную мощность.
Перельману удалось доказать две основные вещи. Во-первых, он показал, что Гамильтону не нужно было предполагать, что кривизна всегда будет одинаковой: в воображаемом пространстве, в котором применяется доказательство, это и так будет всегда верно. Во-вторых, Перельман показал, что все сингулярности, которые могут возникнуть в процессе деформации, имеют одинаковую природу и могут появиться, когда кривизна начинает неуправляемо раздуваться. Поскольку все сингулярности имеют единую природу, для устранения их всех нужен один инструмент — хирургия, предложенная Гамильтоном. Более того, Перельман доказал, что некоторые сингулярности, о которых говорил Гамильтон, вообще не появятся.
В перельмановой доказательной логике есть нечто забавное, отчасти ироничное. Перельман преуспел благодаря непостижимой способности своего ума охватывать весь широчайший спектр возможностей. Он имел все основания утверждать: он знает все, что может случиться с объектом по мере его деформации. И, зная это, он смог исключить некоторые сценарии как невозможные. Рассуждая о воображаемом четырехмерном пространстве, он ссылался на то, что может и что не может произойти 'в природе'. По сути, Перельману в математике удавалось то, что он пытался делать в жизни: охватить все возможности, существующие в природе, и отбросить все, что выходит за рамки естественного — будь то голоса кастратов, автомобили, антисемитизм или еще какие неудобные сингулярности.
Глава 9. Решение
