Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

границами того, что нам сегодня доступно. Обзор новейшей истории попыток доказательства Гипотезы Римана несколько напоминает изложение хода затяжной и тяжелой войны. Случаются внезапные наступления, застающие неприятеля врасплох, масштабные битвы и перемены судьбы, от которых сжимается сердце. Наступают и временные затишья — периоды истощения, когда обе измученных войной стороны почти ничего не предпринимают, но совершают вылазки малыми силами для проверки оборонительных рубежей противника. Случаются и прорывы, за которыми следует всплеск энтузиазма, но также бывают и патовые ситуации, сопровождаемые периодом апатии.

Мое впечатление о состоянии дел на данный момент (середина 2002 года) — хотя надо оговориться, что это лишь впечатление наблюдателя, который сам в бою не участвует, — таково, что исследователи находятся в патовой ситуации. В битве наступило затишье. Мощнейший взрыв интереса, вызванный доказательством гипотез Вейля, предложенным Делинем в 1973 году, и продвижениями Монтгомери- Одлыжко в период с 1972 по 1987 год, как мне кажется, исчерпался.

В мае 2002 года я провел три дня в офисе АМИ в Пало-Альто, занимаясь тем, что просматривал видеозапись конференции 1996 года в Сиэтле. А через месяц после этого я был на рабочем совещании в Институте Куранта. Вычитание числа 1996 из числа 2002 дает шесть лет. «Вычитание» содержания конференции в Сиэтле из курантовского совещания показывает, что математики, собравшиеся в Институте Куранта, смогли показать не так много нового. Вообще-то это не слишком неожиданное заявление, и я никоим образом не придаю ему пренебрежительного или уничижительного оттенка. Деятельность, о которой идет речь, исключительно трудна. Прогресс в ней дается не быстро, а шесть лет — срок в истории математики небольшой. (Доказательство Последней теоремы Ферма потребовало 357 лет!) И кроме того, на совещании в Курантовском институте были яркие доклады молодых математиков, таких как Иван Фесенко.

Но основное впечатление все же свелось к тому, что наблюдается патовая ситуация. Как будто бы ГР представляла собой гору, на которую совершается восхождение, но с какого направления к ней ни подбираешься, рано или поздно застреваешь у края широкой и бездонной расселины. Я сбился со счета, пытаясь прикинуть, сколько раз, будь то в 1996 или в 2002 году, докладчик заканчивал свое выступление, буквально разводя руками: «Это, конечно, очень важное достижение, однако неясно, удастся ли перекинуть отсюда мостик к доказательству классической Гипотезы Римана…»

Сэр Майкл Берри, который знает толк в словах, ввел в обращение концепцию «кларитона», который он определяет как «элементарную частицу внезапного понимания».[207] В области ГР в настоящее время ощущается дефицит кларитонов.

Эндрю Одлыжко: «Сказано, что, кто бы ни доказал истинность Теоремы о распределении простых чисел, тот достигнет бессмертия. И верно: и Адамар, и де ля Валле Пуссен дожили до девяноста с лишним лет. Возможно, ГР не верна; но если кто нибудь сумеет доказать ее ложность — найти нуль вне критической прямой, — то он умрет на месте и о его результате никто никогда не узнает».

IV.

Если оставить в стороне вопрос о поиске доказательства, то каковы ощущения математиков насчет ГР? Что им подсказывает их интуиция? Верна ГР или нет? Что они по этому поводу думают? Я специально спрашивал всех математиков, с которыми удавалось поговорить, верят ли они в справедливость Гипотезы. Ответы образовали широкий спектр с довольно разнообразным набором собственных значений.

Для тех математиков, кто верит в ее справедливость (сюда относится, например, Хью Монтгомери), определяющую роль играет совокупная убедительность свидетельств в ее пользу. Но всем профессиональным математикам известно, что веские свидетельства и указания могут сыграть злую шутку. Имелись веские основания полагать, что Li(x) всегда превосходит ?(x) , пока Литлвуд не показал в 1914 году, что это не так. Верно, скажут вам те, кто верует в ГР, но ведь то были всего лишь свидетельства, затрагивающие только одну нить, ведущую к ГР. Численные свидетельства вкупе с неподкрепленным предположением, что второй член — т.е. член с интегральным логарифмом ?¹/₂Li(x^1/2)  — будет и далее доминировать в разности, которая в силу этого будет оставаться отрицательной. А к самой Гипотезе ведет большее число нитей. На Гипотезе Римана основано огромное количество результатов, большинство из которых весьма разумны и — если использовать слово, которое особенно нравится математикам, — изящны. Имеются сотни теорем, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…». Если ГР окажется ложной, то все они рассыплются. Это, понятно, было бы нежелательным, так что тех, кто верует, можно упрекнуть в выдавании желаемого за действительное, и, однако же, дело не в нежелании потерять все эти результаты, а в факте их существования. В веских свидетельствах.

Другие математики полагают (как полагал Алан Тьюринг), что ГР, скорее всего, не верна. Мартин Хаксли[208] — один из неверующих наших дней. Его неверие основано исключительно на интуитивных посылках — если процитировать аргумент, впервые выдвинутый Литлвудом, «Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из анализа, как правило, оказывается ложной. Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из алгебры, как правило, оказывается истинной».

Ответ, который мне нравится больше всех, принадлежит Эндрю Одлыжко. Ему я на самом деле задал этот вопрос впервые — он был первым математиком, к кому я обратился, когда вынашивал планы написания этой книги. Мы отправились ужинать в ресторан в городок Саммит в Нью-Джерси. Эндрю в то время работал в Белловских лабораториях (сейчас он в университете Миннесоты). Я в то время был новичком во всем, что касалось ГР, и мне приходилось много всего изучать. Покончив с превосходной итальянской едой и проведя два часа за серьезным разговором о математике, мы подошли к моменту, когда у меня больше не осталось, о чем спрашивать; тогда я сказал:

Дж.Д. Эндрю, вам довелось рассмотреть больше нетривиальных нулей дзета- функции Римана, чем любому другому на нашей планете. И что вы думаете по поводу этой проклятой Гипотезы? Верна она или нет?

Э.О. Она или верна, или нет.

Дж.Д. Да ладно, Эндрю, у вас же должно быть какое-то ощущение по этому поводу. Ну скажите мне, какова вероятность. Скажем, восемьдесят процентов, что она верна, и двадцать, что нет. Или сколько?

Э.О. Она или верна, или нет.

Кроме этого мне ничего не удалось из него вытянуть. Он просто не желал связывать себя никаким утверждением. В другом разговоре, состоявшемся позднее и в другом месте, я спросил Эндрю, имеются ли веские математические причины полагать, что Гипотеза не верна. Да, сказал он, некоторые имеются. Например, можно разбить дзета-функцию на различные части, каждая из которых будет вам говорить что- то свое о поведении дзета-функции. Одна из этих частей — так называемая S- функция (никакого отношения не имеющая к функции, которую мы обозначали как S(x) в главе 9.ii). Во всем интервале, в котором до сих была изучена дзета-функция, — т.е. для аргументов на критической прямой до высоты около 10²³ — S в основном барражирует между ?1 и +1. Наибольшее известное ее значение равно примерно 3,2. Имеются серьезные основания думать, что если S сумеет в какой-то момент добраться до величины около 100, то ГР может оказаться в беде. Ключевое слово здесь — «может»; достижение функцией S значений около 100 — это необходимое условие для того, чтобы с Гипотезой Римана случилась беда, но не достаточное.

Могут ли значения функции S когда-нибудь вообще стать столь большими? Представьте себе, могут. На самом деле Атле Сельберг в 1946 году доказал, что S неограничена; другими словами, рано или поздно, если только забраться достаточно высоко по критической