Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

16

Используя уже утвердившийся у нас американизм — «полным профессором». В этих же терминах «экстраординарный профессор» — это Assistant Professor, что до некоторой степени соответствует российскому доценту. (Примеч. перев.)

17

Вот только один пример неожиданного появления числа e. Возьмем случайное число, заключенное между 0 и 1. Теперь возьмем другое и прибавим его к первому. Продолжим так поступать, накапливая случайные числа. Сколько в среднем случайных чисел потребуется, чтобы сумма оказалась больше, чем 1? Ответ: 2,71828….

18

Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть S обозначает множество положительных целых чисел n, для которых выполнено такое свойство: nv2 — также положительное целое число. Если множество S не пусто, в нем есть наименьший элемент. (Любое непустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k. Теперь образуем число u = (v2 ? 1) k. Легко видеть, что (i) u меньше, чем k, (ii) u — положительное целое и (iii) uv2 — также положительное целое, так что (iv) u лежит в множестве S. Это противоречие, поскольку мы определили k как наименьший элемент из S, и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что S не пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество S пусто. Следовательно, нет положительного целого числа n, для которого nv2 — положительное целое число. Следовательно, v2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.

19

Правило знаков: минус умножить на минус дает плюс. Многие люди застревают в арифметике именно на этом месте. Они спрашивают: «Что это значит — умножить отрицательное на отрицательное?» Лучшее объяснение, какое мне приходилось встречать, принадлежит Мартину Гарднеру. Оно таково. Рассмотрим большую аудиторию, в которой находятся два типа людей: хорошие и плохие. Определим «сложение» как «приглашение людей в аудиторию». Определим «вычитание» как «удаление людей из аудитории». Определим «положительный» как «хороший» (имея в виду «хороших людей»), а «отрицательный» — как «плохой». Прибавление положительного числа означает, что в аудиторию приходит сколько-то хороших, что несомненно повышает в ней уровень «хорошести». Прибавление отрицательного числа означает, что в аудиторию приходят плохие парни, что понижает суммарный уровень «хорошести». Вычитание положительного числа означает, что наружу выходит сколько-то хороших, и суммарный уровень «хорошести» понижается. Вычитание отрицательного числа означает уход нескольких плохих, в результате чего суммарная «хорошесть» повышается. Таким образом, прибавление отрицательного числа — это все равно что вычитание положительного, а вычитание отрицательного — все равно что прибавление положительного. Умножение — это просто кратное сложение. Минус три умножить на минус пять? Попросим выйти пятерых плохих парней. Повторим это три раза. Результат? Суммарная «хорошесть» увеличилась на 15… (Когда я проверил это на шестилетнем Дэниеле Дербишире, он сказал: «А что, если ты попросишь плохих парней выйти, а они не выйдут?» Философ-моралист в процессе становления!)

20

В отличие от распространенного американского обозначения log принятое у нас обозначение ln уже содержит напоминание не только о логарифме (буква l), но и о том, что это натуральный (т.е. в некотором смысле естественный) логарифм (буква n). Заметим попутно, что «стандартные» функции типа логарифма записываются, как правило, без скобок вокруг аргумента, если этот аргумент достаточно прост (например, выражается одной буквой N или x). (Примеч. перев.)

21

Георг был последним королем Ганновера. После сделанного в 1866 г. неудачного выбора, на чьей стороне воевать в австро-прусской войне, это королевство было в том же году поглощено Пруссией. Медаль, по-видимому, была отлита лишь к столетию Гаусса в 1877 г.

22

Среди разнообразных обстоятельств, позволявших герцогу притязать на славу, стоит, пожалуй, отметить, что он был отцом Каролины Брауншвейгской, вышедшей замуж за английского принца-регента. Брак оказался несчастным, и Каролина уехала из Англии. Но когда принц взошел на трон под именем Георга IV, она вернулась и предъявила свои права в качестве королевы. Это привело к незначительному конституционному кризису и одновременно к значительному увеселению публики по поводу стеснительного положения, в которое попал король, а также из-за довольно надменного характера его королевы, ее своеобразных личных привычек и вопиющих связей. Немалой популярностью пользовалась песенка:

Мадам, мы умоляем Вас