Но постойте-ка! Каково же значение функции при аргументе, равном 9? Это ?3 или 3? Похоже, что эта функция принимает такой вид:
| N | vN |
| 0 | 0 |
| 1 | 1, а может быть, ?1 |
| 4 | 2 или, возможно, ?2 |
| 9 | 3, или это может равняться ?3? |
Так дело не пойдет — слишком путано. Вообще-то… вообще-то существует математическая теория многозначных функций. Бернхард Риман был знатоком этой теории, и мы познакомимся с его идеями в главе 13.v. Но сейчас не время и не место для этого, и я не собираюсь тащить сюда сундук, набитый подобными вещами. Во всяком случае, что касается меня, то железное правило состоит в том, что на один аргумент — самое большее одно значение (ни одного значения, разумеется, если аргумент не лежит в области определения функции). Квадратный корень из 1 равен 1, квадратный корень из 4 равен 2, квадратный корень из 9 равен 3. Означает ли это, что я не признаю того факта, что ?3 умножить на ?3 даст 9? Разумеется, я его признаю, я просто не включаю его в мое определение «квадратного корня». Вот мое определение квадратного корня (по крайней мере на данный момент): квадратный корень из N есть единственное неотрицательное число (если таковое имеется), которое при умножении само на себя дает N.
VIII. По счастью, показательная функция не доставляет нам подобных хлопот. Вы можете шутя обратить ее и получить функцию, которая при выборе аргументов, получаемых друг из друга умножением, дает значения, получаемые друг из друга сложением. Разумеется, как и в случае показательных функций, обратные им функции также образуют семейство, зависящее от множителя; и, как и с показательной функцией, математикам намного, намного больше всех остальных нравится та, к значениям которой прибавляется единица, когда аргументы умножаются на e. Получаемую функцию называют логарифмической, а обозначают ln.[20] «Логарифм!» — вот слово, которое возникло в голове математика при вспышке лампочки, когда он увидел таблицу 3.2. Если y = ex, то x = ln y. (Отсюда, кстати, путем простой подстановки следует, что для любого положительного числа у выполнено y = eln y — факт, которым мы не преминем как следует воспользоваться в дальнейшем.)
В математических сюжетах, имеющих отношение к данной книге — то есть к Гипотезе Римана, — логарифмическая функция присутствует повсеместно. Мы поговорим о ней куда более подробно в главах 5 и 7, и она будет играть роль настоящей звезды нашего рассказа, когда в главе 19 мы повернем наконец Золотой Ключ. Пока же давайте примем на веру, что это — функция в только что описанном смысле, по- настоящему важная математическая функция, и при этом обратная к показательной функции: если y = ex, то x = ln y.
Теперь я перейду прямо к сути дела и покажу вам логарифмическую функцию, но вместо того, чтобы двигаться вперед шагами, соответствующими умножению на e, давайте умножать аргументы на 1000. Как мы уже говорили, когда функцию представляют в виде таблицы, надо выбрать аргументы (а также число знаков после запятой — в нашем случае четыре). Клянусь, что это та же самая функция. Чтобы лучше было видно, что тут происходит, я справа добавил в таблицу еще две колонки: первая из них — это просто правая колонка из таблицы 3.2, а вторая выражает в процентах отклонение нашей колонки номер 2 от колонки номер 3. Результат приведен в таблице 3.3.
| N | ln N | N/?(N) | Ошибка, % |
| 1 000 | 6,9078 | 5,9524 | 16,0409 |
| 1 000 000 | 13,8155 | 12,7392 | 8,4487 |
| 1 000 000 000 | 20,7233 | 19,6665 | 5,3731 |
| 1 000 000 000 000 |
