выражает наклон функции f при любом ее аргументе. Если f — это ln x, то g — это 1/x. Произведенная таким образом функция называется, как ни странно, производной функции f. Например, 1/x — это производная функции ln x. Если вам дали какую-то функцию f, то процесс нахождения ее производной называется дифференцированием.
Дифференцирование — действие, которое подчиняется некоторым простым правилам. Например, оно прозрачно для нескольких основных арифметических операций. Если производная функции f — это g, то производная функции 7f — это 7g. (Так что производная от 7•ln x равна 7/x.) Производная суммы f + g — это производная функции f плюс производная функции g. Правда, все не совсем так для умножения: производная произведения f и g не равна произведению производной функции f на производную функции g.[58]
Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции xN. Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа N производная функции xN есть функция NxN?1. Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.
| Функция | Производная |
| x?3 | ?3x?4 |
| x?2 | ?2x?3 |
| x?1 | ?x?2 |
| x0 | 0 |
| x1 | 1 |
| x2 | 2x |
| x3 | 3x2 |
Таблица 7.1. Производные функций xN.
Конечно, x0 — это просто единица, а график этой функции — горизонтальная прямая. У нее нет наклона — точнее, нулевой наклон. Дифференцирование любого фиксированного числа дает нуль. А x1 — это просто x, график же представляет собой прямую, идущую по диагонали вверх и покидающую рисунок через правый верхний угол. Наклон ее повсюду равен 1. Заметим, что нет такой степенной функции, производная которой была бы равна x?1, хотя x0 вроде бы стоит на правильном месте, чтобы дать такую производную. Это неудивительно, поскольку мы уже знаем, что производная ln x есть как раз x?1. Это еще одно свидетельство того, что ln x как будто пытается выдать себя за x0.
VII. Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение P через Q, то как выразить Q через P? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = eb, тот как найти b через a? Как ln а.
Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию f и получили функцию g. То есть g представляет собой производную функции f. А f представляет собой… (что именно?!) функции g? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln x — это 1/x, так что ln x — это… (что?) функции 1/x? Ответ: интеграл, вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование. Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только N не равно ?1, то интеграл от функции xN равен xN+1/ (N + 1). (Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln x изо всех сил старается вести себя как функция x0, каковой она, конечно, не является).
| Функция | Интеграл |
| x?3 | ?1/2x |
