Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

графиком функции. Сначала надо найти интеграл от интересующей нас функции, а потом взять калькулятор. Итак, каков же интеграл от функции 1/ln t?

К сожалению, в домашнем хозяйстве нет обычной функции, которая позволила бы выразить интеграл от 1/ln t. Но интеграл этот весьма важен. Он снова и снова появляется в исследованиях, связанных с Гипотезой Римана. Поскольку нежелательно писать всякий раз, как потребуется эта монструозная конструкция, мы попросту определим новую функцию, выражаемую этим интегралом, и выдадим ей свидетельство, что это добропорядочная и уважаемая функция, ни в чем не уступающая другим своим коллегам.

Рисунок 7.4. Функция 1/ln t.

У этой новой функции есть имя: ее зовут интегральный логарифм. Для нее обычно используется обозначение Li(x). (Иногда пишут li(х).) Она определена как функция, выражающая площадь под кривой — то есть под графиком функции 1/ln t — от нуля до x.[59]

Здесь не обошлось без некоторой ловкости рук, потому что у функции 1/ln t нет значения при t = 1 (из-за того что логарифм единицы равен нулю). Я обойду эту сложность, не углубляясь в нее, — просто заверю вас, что имеется некоторый способ привести все в порядок. Надо еще заметить, что при вычислении интегралов области ниже горизонтальной оси считаются отрицательными, так что по мере увеличения t область справа от 1 «тратится» на сокращение области слева от 1. Другими словами, Li(x) выражается затемненной областью на рисунке 7.4, причем отрицательный вклад в площадь, набираемый слева от t = 1, гасится положительным вкладом от площади справа от t = 1 (когда x лежит справа).

На рисунке 7.5 показан график функции Li(x). Мы видим, что она принимает отрицательные значения, когда x меньше единицы (поскольку соответствующая площадь на рисунке 7.4 дает отрицательный вклад), но по мере того, как x уходит направо от 1, положительный вклад в площадь постепенно сокращает отрицательный, так что Li(x) возвращается из отрицательной бесконечности, достигает нуля (т.е. отрицательный вклад в площадь полностью сокращается) при аргументе x = 1,4513692348828…, а после этого уже постоянно возрастает. Наклон этой функции в каждой точке равен, конечно, 1/ln x. А это, как мы видели в главе 3.ix, есть вероятность того, что целое число в окрестности числа x окажется простым.[60]

Рисунок 7.5. Функция Li(x).

Именно поэтому данная функция так важна в теории чисел. Дело в том, что по мере того, как N делается все больше и больше, мы имеем Li(N) ~ N/ln N. Но ТРПЧ утверждает, что ?(N) ~ N/ln N. Секундное размышление показывает, что знак волны транзитивен — т.е. что если P ~ Q, a Q ~ R, то должно быть и P ~ R. Так что если ТРПЧ верна — а мы знаем, что это так, она была доказана в 1896 году, — то должно быть верно и ?(N) ~ Li(N) .

Это не просто верно. Это, в некотором роде, еще вернее. Я хочу сказать, Li(N) дает на самом деле лучшую оценку функции ?(N), чем N/ln N. Намного лучшую. Таблица 7.3 показывает, почему Li(x) играет центральную роль в нашем исследовании.

Таблица 7.3.

На самом деле ТРПЧ чаще всего формулируют как ?(N) ~ Li (N), а не как ?(N) ~ N/ln N. Поскольку знак волны транзитивен, два утверждения эквивалентны, как можно видеть из рисунка 7.6. Из работы Римана 1859 года следует и точное, хотя и не доказанное, выражение для ?(N) , и во главе этого выражения стоит Li(x).

ТРПЧ (улучшенный вариант)

?(N) ~ Li(N)

Отметим еще одно обстоятельство, связанное с таблицей 7.3. Для всех приведенных там значений N функция N/ln N дает заниженную оценку для ?(N) , а функция Li(N) — завышенную. Оставим это замечание без комментариев до тех пор, пока оно нам не понадобится.

Рисунок 7.6. ТРПЧ.

Глава 8. Не лишено некоторого интереса

I.

До сих мы интересовались далекими предпосылками Гипотезы Римана — предысторией Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ) и работы Римана 1859 года, где Гипотеза и была впервые высказана. В данной главе мы обратимся к непосредственным истокам той работы. Вообще-то здесь переплетены две истории: Бернхарда Римана и Геттингенского университета в 1850-х годах: в придачу к этому мы предпримем короткие путешествия за национальным колоритом в Россию и Нью-Джерси.

Следует держать в поле зрения целостную картину европейской интеллектуальной жизни 1830, 1840 и 1850-х годов. Разумеется, то было время огромных перемен. Колоссальные изменения, произведенные Наполеоновскими войнами, выпустили на свободу новые патриотические и реформаторские силы. Полным ходом шла промышленная революция. Подвижки в мыслях и чувствах, которые мы условно объединяем под названием «движение романтизма», проникали повсюду и уже достигли широких слоев населения. 1830-е годы, годы возрождения духа после истощения долгими войнами, были неспокойным временем, отмеченным Июльской революцией во Франции, Польским восстанием (в то время Польша принадлежала Российской империи[61]), мечтами немцев о национальном единстве и великим Биллем о реформе в Британии.[62] Алексис де Токвиль, посетив Соединенные Штаты, написал книгу, в которой глубоко проанализировал новые любопытные эксперименты с демократической формой правления.[63] В течение следующего десятилетия зашевелились темные силы, причем кульминация пришлась на 1848 год, «год