удерживают лидерство только для 1939 из первых 5,8 миллиона простых (предел, до которого я дошел в своих проверках). Они
Что касается делителя 3, то для него отклонение выражено даже еще радикальнее. Здесь остаток (для чисел, больших
Осенью 1852 года — первого года работы над своей диссертацией на право чтения лекций — Риман снова встретил Дирихле. Весь эпизод достаточно трогателен, и я приведу отрывок из биографии, написанной Дедекиндом:
Во время осенних каникул 1852 года Лежен Дирихле ненадолго останавливался в Геттингене. Риман, только что вернувшийся из Квикборна, имел счастливую возможность видеться с ним практически ежедневно. И в первый день, когда он приходил к Дирихле, и на следующий день <…> Риман спрашивал у Дирихле, который считался величайшим из живущих тогда математиков после Гаусса, советов касательно своей работы. Риман так писал своему отцу об их встрече: «Давеча утром Дирихле провел со мной около двух часов. Он дал мне несколько советов относительно моей диссертации на право чтения лекций; замечания его настолько обстоятельны, что моя работа существенно облегчилась. Иначе мне пришлось бы проводить много времени в библиотеке, выискивая кое-какие из этих вещей. Мы вместе с ним просмотрели мою диссертацию, и он был в целом очень ко мне расположен, чего я не вполне ожидал, учитывая огромную разницу в нашем положении. Надеюсь, что он не забудет обо мне в будущем». Несколько дней спустя <…> большая группа сотрудников отправилась на совместную экскурсию — путешествие очень ценное в том отношении, что по прошествии некоторого времени, проведенного в компании, сдержанность Римана заметно уменьшилась. На следующий день Дирихле и Риман снова встретились в доме Вебера. Импульс, который Риман вынес из этого общения, принес ему массу пользы. И тем не менее отцу об этом он пишет так: «Как видишь, я тут оказался не вполне домоседом; однако же на следующее утро я работал еще напряженнее и сделал так много, как если бы я просидел над своими книгами целый день».
Последнее замечание показывает, сколь высокие требования Риман предъявлял к себе, а также говорит о его сильнейшем чувстве долга и твердой решимости оправдать каждую минуту времени, проводимого в Геттингене, в своих глазах, в глазах отца (который, как-никак, обеспечивал его существование) и в глазах Бога.
Процедура получения второй ученой степени состояла в том, что Риману надо было сначала представить написанную диссертацию, а затем подготовить пробную лекцию, которую следовало прочитать перед всем профессорским составом. Сама по себе диссертация — она называлась «О представимости функции тригонометрическим рядом» — является краеугольной работой, в которой миру был представлен интеграл Римана, изучаемый теперь как фундаментальное понятие в институтских курсах дифференциального и интегрального исчисления. И однако, лекция Римана намного превзошла текст диссертации.
Предполагалось, что Риман подготовит для лекции три темы, из которых Гаусс, как его руководитель, выберет одну, на которую лекция и будет прочитана. Три предложения Римана касались двух вопросов по математической физике и одного по геометрии. Гаусс выбрал лекцию, озаглавленную «О гипотезах, лежащих в основами геометрии», и Риман прочитал ее собравшимся профессорам 10 июня 1854 года.
Это одна из десяти лучших математических работ, представленных вообще когда бы то ни было, поистине сенсационное достижение. Ее прочтение, как утверждает Ханс Фрейденталь в «Словаре научных биографий», было «одним из озарений в истории математики». Идеи, содержащиеся там, были настолько передовыми что прошло несколько десятилетий до их полного принятия и 60 лет до того момента, как они нашли свое приложение в физике, в качестве математического аппарата общей теории относительности Эйнштейна. Джеймс Р. Ньюмэн в книге «Мир математики» отзывается об этой работе как об «эпохальной» и «непреходящей» (забыв, правда, включить ее в свою обширную антологию классических математических текстов). При этом потрясает еще и то, что работа практически не содержит математических обозначений. Пролистывая ее, я обнаружил пять знаков равенства, три знака квадратного корня и четыре знака ?, что в среднем составляет менее одного символа на страницу! Имеется всего одна настоящая формула. Все это было написано с целью быть понятым — или, возможно (см. ниже),
Отправной точкой для Римана стал ряд идей, высказанных Гауссом в статье 1827 года, озаглавленной «Общее исследование искривленных поверхностей». В предшествовавшие тому несколько лет Гаусса привлекали к работе по подробной топографической съемке Баварского королевства (в ходе этой работы, между прочим, он изобрел гелиотроп — устройство для наблюдений на больших расстояниях за счет отражения вспышек солнечного света от системы зеркал). Колоссальный ум Гаусса вычленил из материала, с которым он работал, некоторые соображения о свойствах двумерных поверхностей и о том, как эти свойства можно было бы описать математически. Статья Гаусса широко рассматривается в качестве работы, положившей начало новой дисциплине — дифференциальной геометрии.
Риман в своей лекции развил эти идеи и обобщил их на пространства любого числа измерений. Что еще более важно, он привнес совершенно новый взгляд на весь предмет. Гаусс воспринимал его в терминах искривленных двумерных листов, вложенных в обычное трехмерное пространство, из которого их можно разглядывать, — что было естественным обобщением его опыта работы в качестве топографа. Риман переместил точку зрения таким образом, что она стала
Я полагаю, вы знакомы с идеей, содержащейся в общей теории относительности Эйнштейна, о том, что с тремя пространственными измерениями и одним временным можно математически обращаться как с четырехмерным пространством-временем и что этот четырехмерный континуум изогнут и искорежен за счет присутствия массы и энергии. С точки зрения Гаусса геометрию этого пространства-времени надо было бы развивать, представляя себе, что оно вложено в пятимерный континуум, подобно тому как Гаусс рассматривал двумерные поверхности вложенными в обычное трехмерное пространство. Тем, что современные физики так не думают, мы обязаны Риману. На самом деле, если вы отправитесь в ближайший университет и запишетесь там на курс по общей теории относительности, то названия тем, которые вы будете проходить (по порядку), могут оказаться такими:
• метрический тензор;
• тензор Римана;
• тензор Риччи;
• тензор Эйнштейна;
• тензор энергии-импульса;
• уравнение Эйнштейна G = 8
Охватив это, вы овладеете основами общей теории относительности.
Хотя цель данной книги состоит в описании открытий Римана в арифметике и великой Гипотезы, которая берет в них свое начало, нельзя сказать, что эти геометрические исследования не имеют никакого отношения к делу. Общий склад ума Римана, а также все его лучшие математические работы родились из напряжений, возникавших между соображениями двух противоположных свойств. С одной стороны, он был великим глобалистом, всегда склонным воспринимать вещи в полном объеме. Для Римана функция не представляет собой просто множество точек; еще менее она передается каким бы то ни было изобразительным способом типа графика или таблицы и еще менее — набором выражений, содержащих алгебраические формулы. (В одном из немногих засвидетельствованных отрицательных отзывов о ком бы то ни было Риман отмечает, что берлинский математик Готхольд Эйзенштейн «остановился на уровне формального вычисления».) Но что же тогда такое функция? Это объект, который без нарушения правил
