Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Но для алгебраиста, однако, оно представляет особый интерес постольку, поскольку относится к некоторому полю. Вообще алгебраисты и аналитики рассматривают не столько разные вещи, сколько аспекты одной и той же вещи.[159]^{A8}

III.

Краткий взгляд на размах, мощь и красоту теории алгебраических полей — это все, на что нам здесь хватает места, хотя мы и вернемся ненадолго к полям, рассмотрев их под другим углом зрения в главе 20.v. Я привел здесь этот краткий обзор алгебраических сведений, потому что в 1921 году Артин в своей диссертации, которую он защищал в Лейпцигском университете, применил теорию полей для развития нового подхода к Гипотезе Римана. Соответствующий математический аппарат достаточно серьезен, и я расскажу о нем лишь очень бегло.

Как уже упоминалось в предыдущем разделе, для всякой степени p^N простого числа имеется конечное поле. Мы также видели, как конечное поле можно использовать в качестве основы для построения других полей, в том числе бесконечных. Оказывается, что если начать с конечного поля, то имеется способ таким образом построить эти поля-«расширения», что с ними будет связана некоторая дзета-функция. Под «некоторой дзета- функцией» здесь понимается функция комплексного аргумента, определенная над полем комплексных чисел и по целому ряду своих свойств необъяснимым образом напоминающая дзета-функцию Римана. Например, эти аналоги римановой дзета-функции снабжены своим собственным Золотым Ключом — своей собственной эйлеровой формулой произведения, а также своей собственной Гипотезой Римана.[160]

В 1933 году работавшему в Магдебургском университете в Германии Хельмуту Хассе удалось для определенной категории полей доказать результат, аналогичный Гипотезе Римана. В 1942 году Андре Вейль[161] распространил это доказательство на гораздо более широкий класс объектов, а затем предположил — в знаменитых трех «гипотезах Вейля», — что подобные результаты должны иметь место для еще более широкого класса. В 1973 году бельгийский математик Пьер Делинь получил сенсационное достижение, принесшее ему Филдсовскую премию, — он доказал гипотезы Вейля, тем самым, по существу, завершив программу исследований, начало которой положил Артин.

Неизвестно, в какой степени методы, развитые для доказательства аналогов Гипотезы Римана, относящихся к столь замысловатым полям, пригодны для доказательства классической Гипотезы Римана. Но очень многие считают, что вполне пригодны, и данная область остается очень активным направлением в исследовании Гипотезы Римана.

Ведут ли эти исследования куда-нибудь? Это не ясно — по крайней мере, мне не ясно. По поводу существа дела обратимся снова ко второму абзацу в этом разделе, где говорилось, что с полями определенного вида связаны аналоги дзета-функции. Для классической дзета-функции — той, о которой говорится в исходной Гипотезе Римана и которой главным образом и посвящена данная книга, — полем такого вида будет Q, поле обычных рациональных чисел. По мере развития исследований в последние десятилетия выяснилось, что элементарное поле рациональных чисел Q в некотором смысле глубже и более своенравно, нежели «искусственно выведенные» поля, к которым применимы результаты Артина, Вейля и Делиня. Но с другой стороны, методы, развитые для обращения с этими «искусственными» полями, оказались достаточно мощными — Эндрю Уайлс использовал их для доказательства Последней теоремы Ферма!

IV.

Для понимания физической линии в исследовании Гипотезы Римана, генезис которой будет описан в разделе VI и которая открыла исследователям новые обширные территории, следует обратиться к другой алгебраической теме — теории операторов. Поэтому данный раздел, как и следующий, посвящен рассказу об операторах, рассматриваемых с точки зрения связанной с ними теории матриц.

В современной математике и физике матрицы вездесущи, и способность управляться с ними относится к числу основных математических навыков. Из-за ограничений в объеме мне придется спрямить историю, приведя лишь самое необходимое. В частности, я вообще обойду стороной вопрос о вырожденных матрицах, как если бы таких в природе не было. Это, должно быть, самое возмутительное упрощение во всей книге, и я приношу свои извинения математически подкованным читателям.

Матрица — это квадратная таблица из чисел, например . Целые числа выбраны здесь исключительно для простоты. Числа, входящие в матрицу, могут быть рациональными, вещественными или даже комплексными. Данная конкретная матрица — это матрица 2?2. Матрицы могут быть любого размера, скажем, 3?3, 4?4, 120?120 и т.д. Они могут иметь даже бесконечный размер, хотя для бесконечных матриц правила и подвергаются некоторой модификации. Важная часть во всякой матрице — это ее главная диагональ, т.е. диагональ, ведущая из левого верхнего угла в правый нижний. В нашем примере на главной диагонали стоят элементы 5 и 6.

Если даны две матрицы одного и того же размера, то их можно складывать, вычитать, умножать и делить. Правила, по которым выполняются эти действия, не сразу очевидны. Например, если A и B — две матрицы одного и того же размера, то, вообще говоря, не верно, что А?В = В?А. Правила обращения с матрицами несложно найти в любом обычном учебнике по алгебре, и нам нет нужды вдаваться в них. Достаточно сказать, что такие правила существуют и что имеется арифметика матриц, в целом напоминающая арифметику обычных чисел, только похитрее.

Нам же важно знать про матрицы следующее. Из всякой матрицы (N?N) можно извлечь многочлен N-й степени — полиномиальную функцию, составленную из различных степеней буквы x, вплоть до N-й степени. Боюсь, я не могу объяснить, как же найти этот многочлен для данной матрицы. Придется поверить мне, что он действительно существует и что имеется способ его построить. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы.

Характеристический многочлен для приведенной выше матрицы 2?2 равен x² ? 11x + 28.[162] При каких значениях x этот многочлен равен нулю? Это все равно что спросить, каковы решения квадратного уравнения x² ? 11x + 28. По хорошо известной формуле (или, как оптимистически говаривал мой школьный учитель, «путем усмотрения») находим, что решения — это 4 и 7. Ну и правда, если подставить 4 вместо x, то значением многочлена будет 16 ? 44 + 28, что в самом деле равно нулю. То же самое и с подстановкой числа 7: 49 ? 77 + 28 тоже равно нулю.

Эти факты служат иллюстрацией ситуации, которая верна в общем случае. Всякая (N?N)-матрица имеет характеристический многочлен степени N, и этот многочлен имеет N нулей.[163] Нули характеристического многочлена матрицы невероятно важны. Они называются собственными значениями матрицы. Заметим еще одно. Если сложить числа на главной диагонали нашей (2?2)-матрицы, то получится 11 (поскольку 5 + 6 = 11). Такова же и сумма собственных значений (7 + 4 = 11); и это число противоположно первому из чисел, которые встречаются в характеристическом многочлене (?11 и 11 противоположны). Это очень важное число, называемое следом матрицы.

Характеристический многочлен, собственные значения, след — для чего все это? Видите ли, важность матриц не в них самих, а в том, что они представляют. Матричная арифметика, коль скоро вы ею овладели, — это просто набор технических навыков, как и в обычной арифметике. Но подобно тому, как обычные числа можно использовать для выражения гораздо более глубоких, более фундаментальных вещей, так же используются и матрицы. Прогулка от моего дома до Хантингтон-Вилидж занимает у меня 12 минут; расстояние составляет приблизительно 0,8 мили. Если начиная с завтрашнего утра Соединенные Штаты перейдут на метрическую систему, мне придется говорить «приблизительно 1,3 километра», а не