образом выражается одними лишь вещественными числами. А вот имеется функция — дзета-функция Римана, которая построена из комплексных чисел; и ее наиболее сокровенная и важная характеристика — набор ее нетривиальных нулей. (Для целей данного рассуждения забудем пока о других нулях.) Каждый из этих нулей лежит в критической полосе. Они симметричны относительно критической прямой с вещественной частью 1/2. Скажем, что типичный нуль имеет вид 1/2
Математики 1910-х годов на самом деле сказали бы «оператор», а не «матрица». Хотя матрицы и были разбросаны повсюду после их изобретения Артуром Кэли в 1856 году, они все же не стали всеобщим достоянием, пока около 1925 года на сцене не появилась квантовая механика. И все же здесь можно увидеть грубую аналогию. И набор собственных значений эрмитовой матрицы, и набор нетривиальных нулей дзета-функции представляют собой наборы чисел, возникающих из ключевого свойства существенно комплексных объектов и неожиданным образом оказывающихся вещественными. Отсюда возникает следующая
Нетривиальные нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям некоторого эрмитова оператора.
Происхождение этой гипотезы несколько туманно. И Гильберт, и Пойа должны были бы упоминать возможность некоторой подобной эквивалентности в лекциях или в разговорах в те годы (1910–1920). Но насколько мне удалось установить, ни один из них не воплотил эту мысль в опубликованной статье. Насколько я знаю — и, как сообщает Питер Сарнак, насколько он знает, — единственным письменным свидетельством того факта, что гипотеза Гильберта-Пойа вообще была высказана, остается письмо, которое 20 лет тому назад Пойа написал Эндрю Одлыжко и фрагмент которого приведен на рисунке 17.3. В нем Пойа сообщает, что Эдмунд Ландау задал ему следующий вопрос: «Можете ли вы придумать какую-нибудь
Рисунок 17.3. Фрагмент письма Джорджа Пойа к Эндрю Одлыжко.
Не следует, однако, забывать, что в математике начала XX века Гильберт был фигурой незаурядного масштаба, а также о том, что он жил и работал в немецкой академической среде, где на университетских профессоров их студенты и подчиненные взирали как на недоступных и всеведущих божеств, приближаться к которым следовало не иначе как с величайшим почтением. Не только к профессору нельзя было и помыслить себе обратиться как-нибудь иначе, нежели «господин профессор», но и жена его становилась «госпожа профессор». Однако для величайших из этих олимпийцев даже такого обращения оказывалось недостаточно. Наиболее выдающимся личностям немецкое правительство присваивало титул
В силу всего этого неудивительно, что если по удачному стечению обстоятельств вам случалось оказаться в достаточной близости от одного из этих небожителей, чтобы слышать его речь, то вам не скоро удавалось забыть его слова. Конечно, подобные гиганты вызывали к жизни определенное количество не подлежащих проверке апокрифов. И тем не менее, подсчитав все за и против, я склонен думать, что Гильберт в самом деле в какой-то момент высказал гипотезу Гильберта-Пойа или нечто ей эквивалентное. (Между прочим, если бы мы для краткости говорили просто «гипотеза Пойа», это привело бы к недоразумениям, поскольку имеется совершенно другая гипотеза, известная под таким названием.)
Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой
В предыдущей главе мы рассмотрели математические предпосылки и некоторые исторические обстоятельства, которые привели к гипотезе Гильберта-Пойа. Эта гипотеза значительно опередила свое время и с полвека пролежала на полке невостребованной.
Эти полвека, однако, оказались очень насыщенными событиями в области физики — вообще самыми насыщенными за всю ее историю. В 1917 году, как раз примерно в то время, когда была выдвинута эта гипотеза, Эрнест Резерфорд открыл делимость атома; 15 лет спустя Кокрофт и Уолтон провели первый в мире эксперимент по искусственному делению атома. Это, в свою очередь, явилось шагом к работам Энрико Ферми и к первой управляемой цепной ядерной реакции, осуществленной в 1942 году, а затем к первому ядерному взрыву 16 июля 1945 года.
«Деление атома», как сообщают своим ученикам все без исключения преподаватели физики в старших классах, — название неправильное. Мы делим атомы всякий раз, как зажигаем спичку. То, о чем идет сейчас речь на самом деле, — это деление атомного ядра, т.е. сердца атома. Чтобы запустить ядерную реакцию — управляемую или уж как получится, — надо выстрелить субатомной частицей в атомные ядра какого-нибудь очень тяжелого элемента. Если сделать это некоторым определенным способом, то ядро расщепится, в свою очередь выстреливая при этом новые субатомные частицы. Эти частицы проникнут в ядра соседних атомов… и т.д., что и приведет к цепной реакции.
А ядра тяжелых элементов — весьма специфические создания. Их можно представлять себе как постоянно бурлящий и колышущийся сгусток из протонов и нейтронов, слипшихся вместе таким образом, что нелегко сказать, где кончается одна частица и где начинается другая. У по-настоящему тяжелых элементов, таких как уран, весь этот сгусток пульсирует на грани неустойчивости. Он может и в самом деле оказаться неустойчивым — это определяется точным соотношением между числом протонов и числом нейтронов — и в этом случае вполне способен разлететься на части по своему собственному усмотрению.
За несколько десятилетий развития ядерной физики в середине XX века возникла потребность хорошо понимать поведение этих странных созданий и, в частности, понимать, что произойдет, если попасть в них другой частицей. Дело в том, что ядро — этот колышущийся сгусток — может существовать в некотором числе состояний, одни из которых обладают большей энергией (здесь надо представлять себе по-настоящему энергичные пульсации), а другие — меньшей (вялые, ленивые пульсации). Если выстрелить частицей в ядро таким образом, чтобы ядро ее поглотило, но само не распалось на куски, то (поскольку энергия частицы не может никуда исчезнуть и поглощается ядром) ядро перейдет из состояния с меньшей энергией в состояние с более высокой энергией. Через некоторое время, утомившись своим пребыванием в возбужденном состоянии, ядро может испустить такую же частицу или, возможно, частицу совсем другого типа и снова оказаться в состоянии с меньшей энергией.
Как много существует энергетических уровней? Когда ядро переходит с уровня
