рассуждение к синусу — Эйлер и решил базельскую задачу.
Но какая нам польза от всего этого для дзета-функции, которая, увы, не является целой функцией? Дело в том, что в ходе упомянутой выше сложной процедуры обращения Риман преобразовал дзета- функцию в нечто слегка от нее отличающееся — в целую функцию, нули которой суть в точности нетривиальные нули дзета-функции. И эту-то слегка измененную функцию можно выразить через данные нули. (Тривиальные нули спокойно исчезли в ходе преобразования.)
Таким вот образом, после некоторой дополнительной обработки, в конце концов и получается выражение ??Li(x?), в котором сумму надо брать по всем нетривиальным нулям дзета-функции.
И теперь, чтобы продемонстрировать важность вторичного члена в выражении (21.1), а также связанные с ним проблемы, мы разберем его на части. Для этого начнем с его сердцевины и будем двигаться изнутри наружу, т.е. сначала рассмотрим x?, затем функцию Li, а потом уже — вопрос о суммировании по всем возможным значениям буквы ?.
IV. Вот, стало быть, перед нами число x, являющееся вещественным. (Окончательная цель всего упражнения состоит в том, чтобы получить формулу для функции ? (x), а она осмысленна только для вещественных чисел и даже, честно говоря, для натуральных; правда, мы изменили обозначения от N к x, чтобы использовать средства математического анализа.) С этим x мы делаем такое: возводим его в степень ?, представляющую собой комплексное число, причем если Гипотеза Римана верна, то комплексное число вида 1/2 + ti (где t — некоторое вещественное число). Это действие само по себе заслуживает обсуждения.
При возведении вещественного числа x в комплексную степень а + bi правила комплексной арифметики предписывают следующее. Модуль результата — т.е. расстояние до нуля, измеряемое по прямой, — есть xa. Буква b на модуль никак не влияет. Зато фаза результата — насколько он повернут и в каком секторе комплексной плоскости лежит — зависит от x и b, но a на фазу не влияет.
При возведении вещественного числа x в степень 1/2 + ti, таким образом, модуль результата есть x в степени 1/2, т.е. vx. Фаза при этом может оказаться какой угодно — результат может угодить в любой сектор комплексной плоскости, при условии только, что расстояние от нуля равно vx. Иными словами, если при заданном x вычислять значения выражения x? для множества различных нулей ? дзета- функции, то получаемые числа будут разбросаны по окружности радиуса vx в комплексной плоскости с центром в нуле (при условии, что ГР верна!).
На рисунке 21.2 отмечены точки, представляющие собой результат возведения числа 20 в степень, определяемую первым, вторым, третьим, …, двадцатым нулем дзета-функции. Видно, что результаты разбросаны по окружности радиуса v20 (что равно 4,47213…) в комплексной плоскости, причем без особого порядка. Это происходит потому, что функция 20s отображает критическую прямую в окружность радиуса v20 таким образом, что критическая прямая (вместе со всеми нанесенными на нее нулями дзета-функции) наматывается и наматывается на эту окружность, делая это бесконечное число раз. На математическом языке данная окружность в плоскости значений задается как 20критическая прямая.
Рисунок 21.2. Плоскость значений для функции w = 20z. Показаны значения w для первых двадцати нетривиальных нулей дзета-функции.
Представим себе, что наш приятель муравей Арг топает на север по критической прямой в плоскости аргумента, а на его приборчике выставлена функция 20s; тогда его брат-близнец, муравей Знач, отслеживая соответствующие значения в плоскости значений, нарезает круги по нашей окружности. Он продвигается против часовой стрелки, и к тому моменту, как муравей Арг доберется до первого нуля дзета-функции, муравей Знач одолеет уже почти три четверти своего седьмого круга.[197]
V. А теперь мы найдем, одно за одним, значения функции Li во всех этих точках — во всем бесконечном числе этих точек. К сожалению, это комплексные числа, а мы определили функцию Li только для вещественных чисел — как площадь под кривой. Имеется ли способ определить Li также и для комплексных чисел? Что из себя представляют интегралы для комплексных чисел? Да, способ определить эту функцию есть; и, кроме того, да, существует способ интегрировать, когда в этом деле участвуют комплексные числа. Интегрирование на самом деле представляет собой один из важнейших элементов комплексного анализа, объект самых прекрасных и мощных теорем во всем этом разделе. Не вдаваясь в подробности, я скажу только, что, да, функция Li(z) определена[198] для комплексных чисел z.
На рисунке 21.3 показано, куда функция Li отображает первые 10 точек, изображенных на рисунке 21.2. Другими словами, (точнее, ее отрезок от 1/2 + 14i до 1/2 + 50i). Как видно, эта функция отображает критическую прямую в спираль, идущую против часовой стрелки и приближающуюся к числу ?i по мере того, как аргумент взбирается вверх по критической прямой. Там, где функция 20z бесконечно много раз наматывала и наматывала критическую прямую на окружность радиуса v20, применение функции Li разматывает ее в изящную спираль; на ней по-прежнему нарисованы точки, изображающие нули.
Рисунок 21.3. Функция Li(20z) для отрезка критической прямой.
VI. Теперь примемся за знак сигмы, где надо суммировать эти точки (каждая из которых — просто комплексное число) по всем возможным нетривиальным нулям дзета-функции. Для этого сначала вспомним один момент, который мы до сих пор практически игнорировали. Для каждого нетривиального нуля, расположенного на северной половине критической прямой, имеется соответствующий нуль на ее южной части. Если, например, 1/2 + 14,134725i — нуль дзета- функции, то нулем должно быть и число 1/2 ? 14,134725i. На чисто математическом языке можно сказать, что если z — нуль, то и его комплексное сопряжение z' также есть нуль. (Мы помним, что z' произносится как «зет-с-чертой».{2} Сейчас может оказаться нелишним взглянуть на рисунок 11.2 и освежить в памяти основные факты о комплексных числах.)
При выполнении суммирования южная часть критической полосы играет ключевую роль. На рисунках
