Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Рисунок 21.1. Четвертый член в выражении Римана для J (x).

Таким образом, взятые вместе (с учетом знаков) третий и четвертый члены ограничены интервалом от ?0,6931… до ?0,5531…. Поскольку изучаемая нами функция ?(x) по-настоящему интересна только для миллионов и триллионов, эффект от этих двух членов невелик, так что мы практически ничего не будем о них говорить, а сконцентрируемся на двух первых членах.

Главный член тоже не представляет особой проблемы. В главе 7.viii мы уже определили функцию Li(x) как площадь под кривой 1/ln t, измеряемую от нуля до x; мы также привели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ) в виде ?(N) ~ Li(N). В нашем главном члене x — вещественное число, а потому значение Li(x) можно взять из математических таблиц или же вычислить с помощью любой нормальной математической программы, типа Maple или Mathematica.[193]

Разобравшись таким образом с первым, третьим и четвертым членами в выражении (21.1), мы сфокусируемся на втором, имеющем вид ?_?Li(x^?). В нем — корень происходящего, и дело тут нешуточное. Сначала я в общих чертах расскажу, что он означает и как он попал в выражение (21.1). А потом разберу его на части и покажу, почему он играет ключевую роль для понимания распределения простых чисел.

III.

Знак ? — это приглашение к тому, чтобы суммировать, т.е. складывать многое в одно. На множество, по которому производится суммирование, указывает маленькая буква ? под знаком ?. Эта буква — не латинская p, а ро — семнадцатая буква греческого алфавита, причем в данном случае она фигурирует в значении «корень».[194] Для вычисления этого вторичного члена надо сложить друг с другом Li(x^?) для всех корней, по очереди придавая букве ? значение, равное каждому из корней. Что это, кстати говоря, за корни? Ясное дело, ведь это нетривиальные нули дзета- функции Римана!

Как же все эти нули попали в выражение для J(x)? Объяснить это я могу лишь в общих чертах. Вспомним выражение, которое мы, повернув Золотой Ключ, получили в главе 19:

Мы говорили, что у математиков есть способ обратить это выражение — вывернуть его наизнанку, т.е. выразить J(x) через дзета-функцию. Процедура обращения в действительности и длинна, и сложна; в большинстве из составляющих ее шагов задействована математика, выходящая за рамки того, что приводится в этой книге. Поэтому-то я и перескочил прямо к окончательному результату — выражению (21.1). Тем не менее, как мне кажется, я в состоянии объяснить одну часть этой процедуры. Дело в том, что один шаг в этом обращении заключается как раз в выражении дзета-функции через ее нули.

Сама по себе идея выражения функций через их нули не несет в себе особой новизны для тех, кто изучал алгебру в старших классах. Рассмотрим старые добрые квадратные уравнения, выбрав в качестве примера то, которое мы использовали в главе 17.iv, а именно z² ? 11z + 28 = 0 (однако будем писать букву z вместо x, поскольку сейчас мы находимся в царстве комплексных чисел). Левая часть этого уравнения, разумеется, представляет собой функцию, причем полиномиальную функцию (т.е. многочлен). Если мы подставим в нее любое значение аргумента z, то после выполнения определенных арифметических действий получим значение функции. А если, скажем, мы подставим аргумент 10, то значением функции будет 100 ? 110 + 28, что дает 18. Если подставим аргумент i, то значением функции будет 27 ? 11i.

А каковы решения уравнения z² ? 11z + 28 = 0? Как мы видели в главе 17, это 4 и 7. При подстановке любого из этих чисел в левую часть уравнение превращается в верное равенство, поскольку левая часть оказывается равной нулю. Другой способ выразить то же самое — это сказать, что 4 и 7 являются нулями функции z² ? 11z + 28.

Теперь, зная нули, мы можем разложить эту функцию на множители. Она разлагается на множители как (z ? 4)(z ? 7). По правилу знаков это можно записать и как (4 ? z)(7 ? z). Еще один способ записи — это 28 (1 ? z/4)(1 ? z/7). Смотрите: так или иначе, мы выразили функцию z² ? 11z + 28 через ее нули! Разумеется, такое можно делать не только для квадратичных функций. Многочлен пятой степени z⁵ ? 27z⁴ + 255z³ ? 1045z² + 1824z ? 1008 тоже можно записать через его нули (каковыми являются числа 1, 3, 4, 7, 12). Вот как: ?1008(1 ? z/1)(1 ? z/3) (1 ? z/4)(1 ? z/7)(1 ? z/12). Любую полиномиальную функцию можно переписать через значения ее нулей.

Полиномиальные функции обладают интересным свойством с точки зрения теории функций комплексной переменной. Область определения полиномиальной функции составляют все комплексные числа. Полиномиальная функция никогда не «обращается в бесконечность». Нет такого значения аргумента z, при котором оказалось бы невозможным вычислить ее значение. При вычислении значения полиномиальной функции для любого заданного значения аргумента используются только возведение аргумента в положительные целые степени, умножение этих степеней на числа и сложение полученных результатов друг с другом. Такое можно проделать со всяким числом.

Функции, область определения которых составляют все комплексные числа и которые ведут себя достаточно симпатичным образом (для чего имеется точное математическое определение!), называются целыми функциями.[195] Все полиномиальные функции — целые. Показательная функция — тоже целая. Однако рациональные функции, которые мы рассматривали в главе 17.ii, не целые, потому что знаменатели в них могут обращаться в нуль. Функция ln также не является целой: у нее нет значения при нулевом аргументе. Подобным же образом у дзета-функции Римана нет значения при аргументе, равном единице, а потому она не является целой функцией.

Целая функция может не иметь нулей вовсе (как, например, показательная функция: равенство e^z = 0 никогда не выполняется), может иметь их несколько (как, например, полиномиальные функции: числа 4 и 7 — нули функции z² ? 11z + 28), а может — бесконечно много (как, например, синус, который обращается в нуль при всех целых кратных числа ?).[196] Ну и раз полиномиальные функции выражаются через свои нули, интересно, можно ли все целые функции выразить подобным же образом? Пусть у нас есть какая-нибудь целая функция — назовем ее F, — определяемая бесконечной суммой вида F(z) = a + bz + cz² + dz³ + …, и пусть еще нам удалось узнать, что у этой функции бесконечно много нулей; назовем их ?, ?, ?, …. Можно ли выразить данную функцию через ее нули, в виде бесконечного произведения F(z) = а (1 ? z/?)(1 ? z/?)(1 ? z/?)…  — как если бы бесконечная сумма была чем-то вроде «сверхмногочлена»?

Ответ таков: да, при определенных условиях можно. И когда такое удается сделать, получается, как правило, чрезвычайно полезная штука. Например, именно таким способом — применив подобное