Пятьсот двадцать головоломок

В общем случае с помощью n прямых можно образовать (n - 3)(n - 1)(n + 1)/24 квадратов, если n нечетно, и (n - 2)n (n - 1)/24 квадратов, если n четно.

Если мы имеем m прямых, перпендикулярных другим n прямым, причем m меньше n, то число квадратов равно

257. Правило заключается в следующем. Если четыре стороны образуют арифметическую прогрессию, то наибольшая площадь равна квадратному корню из произведения всех сторон. Квадратный корень из 70 ? 80 ? 90 ? 100 равен 7099 м². Это и есть верный ответ.

258. Площадь дорожки равна точно 66? м², что станет совершенно очевидным, если вы представите себе маленький треугольный кусок, отрезанный снизу и перенесенный в правый верхний угол (см. рисунок).

Докажем наше утверждение. Площадь всего сада равна 55 ? 40 = 2200 м². Но (53? ? 40) + 66? также равно 2200. Кроме того, сумма чисел ² и 40² должна равняться ², что и выполняется в действительности.

Общее решение таково. Обозначим ширину прямоугольника через B, длину через L, ширину дорожки через C и длину дорожки через x. Тогда

В нашем случае x = 66?; следовательно, основание прямоугольного треугольника с гипотенузой 66? м и катетом, равным 40 м, составляет 53? м.

259. Разделим стороны треугольника точками A, B и E пополам. Если провести AB и опустить перпендикуляры DA и CB, то ABCD будет наибольшим возможным прямоугольником, а его площадь составит половину площади треугольника. Два других решения FEAG и KEBH подошли бы нам (у обоих та же самая площадь), если бы они не захватывали дерево. Это правило можно приложить к любому остроугольному треугольнику, а в случае прямоугольного треугольника получатся только два решения.

260. Многоугольник с произвольным числом сторон можно свести к равновеликому треугольнику, а поскольку угол AGF оказался прямым, то сделать это очень легко. Продолжим отрезок GA. Приложим линейку к точкам A и C, параллельно перенесем ее вверх до точки B и отметим точку 1. Затем соединим отрезком прямой точки 1 и D и параллельно перенесем его вверх до точки C, отметив точку 2. Теперь приложим линейку к точкам 2 и E, параллельно перенесем ее до точки D и отметим точку 3. Далее соединим линейкой точки 3 и F, параллельно перенесем ее до E, отметив точку 4. Если теперь мы соединим прямой точки 4 и F то получим треугольник G4F, площадь которого равна площади нашего неправильного поля. Поскольку на карте GF равно 7 см (70 м), то отрезок G4 равен 6 см (60 м) и площадь поля равна ?(70 ? 60), или 2100 м². Этот простой и ценный способ определения площади многоугольников следовало бы знать каждому, но, увы, пока это остается лишь благим пожеланием.

261. Все размеры приведены на рисунке. Обычно для того, чтобы найти решение, приходится решать биквадратное уравнение, но поскольку в условии задачи сказано, что ответ должен быть «в целых метрах», то можно заметить, что число 91² представимо в виде суммы квадратов единственным образом: 91² = 84² + 35². Зная это, определить все размеры очень легко. Искомое расстояние равно 35 м.

262. Соединим прямой точки A и D (см. рисунок) и построим отрезок CE, перпендикулярный и равный отрезку AD. Тогда точка E совпадет с центром одного из квадратов. Проведем прямую EB и продолжим ее в обе стороны. Проведем также через C прямую FG параллельно EB, а через A и D — перпендикуляры к EB и FG. Поскольку Н есть центр углового квадрата, то, приняв отрезок HE за единицу длины, мы обнаружим, что доска имеет размеры 10 ? 10.

Если бы не были даны размеры шашек, то мы могли бы разбить доску на более мелкие квадраты. Но поскольку размеры шашек видны из рисунка, дальнейшее разбиение доски невозможно: в более мелких квадратах наши шашки просто не уместятся. Так как расстояние между центрами квадратов равно стороне квадрата, мы легко можем восстановить всю доску, что и показано на рисунке.

263. На рисунке слева показано чрезвычайно простое решение данной головоломки. Звездочка в центре — это офицер, а точки — солдаты.

264. На рисунке справа изображена симметричная звезда в том самом положении, которое она занимает на скатерти. Все другие лоскутки для большей ясности не показаны. Удивительно, как трудно обнаружить звезду до тех пор, пока вам ее однажды не покажут. После эго решение становится совершенно очевидным.

265. Данную трапецию можно вписать в окружность. Полусумма x сторон равна 29. Вычитая из этого числа по очереди все стороны, мы получим 9, 13, 17, 19. Произведение этих чисел равно 37 791. Квадратный корень из полученного числа равен 194,4, что и совпадает с размером искомой площади.

266. Продолжив приведенную ниже таблицу, вы сможете получить сколько угодно рациональных треугольников нужного вида.

P	Q	Высота	Площадь
2	4	3	6
8	14	12	84
30	52	45	1170
112	194	168	16 296
418	724	627	226 974
1560	2702	2340	3 161 340

Числа в таблице удовлетворяют соотношению 3P² + 4 = Q². Каждое следующее значение P (начиная с