) на фиксированную функцию j(t ), снова получаем оператор.
Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (см., например, Штурма — Лиувилля задача ) и др. разделов классического анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. Операционное исчисление ). О. т. представляет собой основной математический аппарат квантовой механики (см. Операторы в квантовой теории).
Операторы в линейных пространствах . Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см. Линейное пространство ), в частности в функциональных пространствах, т. е. отображения у = А (х ) линейного пространства R или его части в некоторое линейное пространство R' (возможно, совпадающее с R ). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые функции , линейные преобразования евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т.д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор называется линейным, если A (ax+ by ) = aА (х ) + bА (у ) для любых элементов х , у пространства R и любых чисел a, b. Если пространства R и R' нормированы, а отношение 
нормы А (х ) к норме х ограничено, то линейный оператор A называется ограниченным, а верхнюю грань отношения 
его нормой. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности, т. е. тому, что А (Хп ) ® А (х ), когда Хп ® х . Оператор дифференцирования (пример 2) представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора. См. также Линейный оператор .
Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:
5) Пусть k (s , t ) — непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате a £ s £ b , а £ t £ b . Формула
определяет линейный интегральный оператор, называется оператором Фредгольма.
6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функции f (t ) поставим в соответствие функцию
называется Фурье преобразованием исходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.
7) Левую часть линейного дифференциального уравнения
можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функции x (t ) функцию j(t ). Такой оператор носит название линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.
Примеры нелинейных операторов:
8) Пусть A
