Большая Советская Энциклопедия (ОП)

[f (t )] = f ² (t ); определённый т. о. оператор является нелинейным.

  9) Пусть

  (F — некоторая ограниченная непрерывная функция). Соответствие g ® h , определяемое этой формулой, представляет собой нелинейный интегральный оператор.

  Действия над операторами . Пусть дан оператор

у = А (х ),

  причём никакие два разных элемента х и х' не переходят в один и тот же элемент у . Тогда каждому образу у отвечает его единств. прообраз х . Это соответствие называется обратным оператором и обозначают

х = А ^–1 (у ).

  Построение обратного оператора эквивалентно решению уравнения у = А (х ) относительно х (отыскание неизвестного прообраза по данному образу).

  Если A ₁ и А ₂ — два оператора, отображающих R в R' , то их суммой А = A ₁ + A ₂ называется оператор, определяемый равенством А (х ) = A ₁ (x ) + A ₂ (x ). Если оператор A ₁ переводит R в R' , а A ₂ переводит R' в R” , то результат их последовательного применения представляет собой оператор, отображающий R в R” ; его называют произведением A ₂ A ₁ операторов A ₁ и A ₂ . Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие некоторое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного применения п раз одного и того же оператора А есть n -я степень Aⁿ этого оператора. Например, n -я степень оператора дифференцирования есть оператор n -kpaтного дифференцирования Dⁿ [f (t)] = f ⁽ⁿ⁾ (t). Произведение lА оператора А на число l определяется формулой

(lА )(х ) = lА