a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 – a 13 a 22 a 31 .
О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование: 
равен площади параллелограмма, построенного на векторах a 1 = (x 1 , y 1 ) и a 2 = (х 2 .у 2 ), а 
равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ), a 2 = (x 2 , у 2 , z2 ) и а 3 = (х 3 , y 3 , z 3 ) (системы координат предполагаются прямоугольными).
Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения ). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:
(4)
Эта система имеет одно определённое решение, если О. |aik |, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное xm (m = 1, 2, ..., n ) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|aik |, а в числителе — О., получаемый из |aik | заменой элементов m -го столбца (т. е. коэффициентов при хт ) числами b 1 , b 2 , ..., bn . Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными
