Большая Советская Энциклопедия (ОП)

решение даётся формулами

;     .

  Если b ₁ = b ₂ = ..., = b_n = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |a_ik | = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x ₁ , y ₁ , z ₁ ), (x ₂ , y ₂ , z₂ ), (х ₃ , y ₃ , z ₃ ), может быть записано в виде:

 = 0.

  О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

  1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:

 = ;

  2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:

 = –;

  3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

= 0;

  4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:

 = k ;

  5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:

 =  + ;

  6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

  = ;

  7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i -й строки имеет следующий вид:

 = a_{i 1} A _{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + ...+a_in A_in .

  Коэффициент A_ik , стоящий при элементе a_ik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента a_ik . Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: A_ik = (–1)ⁱ + k D_ik , где D_ik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу a_ik , то есть О. порядка n- 1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ik