. Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:
= –a12 
+ a22 
– a32 
.
Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n -го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n -го порядка приходится выполнять примерно n 3 арифметических операций).
Отметим ещё правило умножения двух О. n -го порядка: произведение двух О. n -го порядка может быть представлено в виде О. того же n -го порядка, в котором элемент, принадлежащий i -й строке и k -му столбцу, получается, если каждый элемент i -й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k -го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.
В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (якобиан )
.
Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременных х 1 , x 2 , ..., хп к переменным
y 1 = f 1 (x 1 , ..., xn ),
y 2 = f 2 (x 1 , ..., xn ),
………………….
yn = fn (x 1 , ..., xn ).
Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f 1 (x 1 , ..., xn ), f 2 (x 1 , ..., xn ), ..., fn (x 1 , ..., xn ).
Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:
(5)
(односторонний бесконечный О.) и
