. Однако в классе разрывных функций это Ф. у. имеет и иные решения. С рассмотренным Ф. у. связаны
f (x + у ) = f (x ) f (y ), f (xy ) — f (x ) + f (y ),
f (xy ) = f (x ) f (y ),
непрерывные решения которых имеют соответственно вид eCx , C lnx , x a (x > 0). Т. о., эти Ф. у. могут служить для определения показательной, логарифмической и степенной функций.
В теории аналитических функций Ф. у. часто применяются для введения новых классов функций. Например, двоякопериодические функции характеризуются Ф. у. f (z + а ) = f (z ) и f (z + b ) = f (z ), автоморфные функции — Ф. у. f (s a z ) = f (z ), где {s a } — некоторая группа дробно-линейных преобразований. Если функция известна в некоторой области, то знание для неё Ф. у. позволяет расширить область определения этой функции. Например, Ф. у . f (x + 1) = f (x ) для периодических функций позволяет определить их значение в любой точке по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто пользуются для аналитического продолжения функций комплексного переменного. Например, пользуясь Ф. у. Г (z + 1) = z Г (z ) и зная значения функции Г (z ) (см. Гамма-функция ) в полосе 0 £ Rez £ 1, можно продолжить её на всю плоскость z .
Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются Ф. у., которым должно удовлетворять решение данной задачи. Значение соответствующих Ф. у. во многих случаях облегчает нахождение решений.
Решения Ф. у. могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций. Для некоторых Ф. у. общее решение может быть найдено, если известны одно или несколько его частных решений. Например, общее решение Ф. у. f (x ) = f (ax ) имеет вид j[w(x )], где j(x ) — произвольная функция, а w(x ) — частное решение этого Ф. у. Для решения Ф. у. их во многих случаях сводят к дифференциальным уравнениям. Этот метод даёт лишь решения, принадлежащие классу дифференцируемых функций.
Другим методом решения Ф. у. является метод итераций . Этот метод даёт, например, решение уравнения Абеля f [a(x )] = f (x ) + 1 [где a(x ) — заданная функция] и связанного с ним уравнения Шрёдера f [a(x )] = cf (x
