Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

). А. Н. Коркин доказал, что если a(х ) — аналитическая функция, то уравнение Абеля имеет аналитическое решение. Эти результаты, нашедшие применение в теории групп Ли (см. Непрерывные группы ), привели в дальнейшем к созданию теории итераций аналитических функций. В некоторых случаях уравнение Абеля решается в конечном виде. Например, Ф. у. f (xⁿ ) = f (x ) + 1 имеет частное решение .

  Лит.: Ацель Я., Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений, «Успехи математических наук», 1956, т. 11, в. 3, с. 3—68.

«Функциональный анализ и его приложения»

«Функциона'льный ана'лиз и его' приложе'ния», научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий оригинальные работы по актуальным вопросам функционального анализа и его приложений, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967. Ежегодно выходит 1 том, состоящий из 4 выпусков. Тираж (1977) около 1500 экз.

Функциональный анализ (математ.)

Функциона'льный ана'лиз, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.

  Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.

  1. Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.

  Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции — откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l₂ и L₂ (a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства l_p и L_p (a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930—40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.

  В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы

А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;

Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;

Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.

  Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.

  2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные)