Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

а £ x £ b (или интервал а < x < b ).

  Правило отнесения значениям x соответствующих им значений у чаще всего задаётся формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над x , чтобы найти у . Таковы, например, формулы ,  и т. п. К вычислительным (или аналитическим) операциям, кроме четырёх действий арифметики, принято относить также операцию перехода к пределу (т. е. нахождение по заданной последовательности чисел a₁ , a₂ , a₃ ,... её предела lima_n , если он существует), хотя никаких общих способов производства этой операции нет. В 1905 А. Лебег предложил общее определение аналитически изобразимой Ф. как Ф., значения которой получаются из значений x и постоянных величин при помощи арифметических действий и предельных переходов. Все т. н. элементарные Ф. sinx , cosx , a^x , , logx , arctgx и т. п. аналитически изобразимы. Например, cosx представляется формулой:

.

  В 1885 К. Вейерштрасс установил аналитическую изобразимость любой непрерывной функции . Именно, он показал, что всякая Ф., непрерывная на каком-нибудь отрезке, является пределом последовательности многочленов вида

c₀ + c₁ x + c₂ x² +...+ c_n xⁿ .

  Кроме описанного здесь аналитического способа задания Ф. при помощи формулы, применяются и др. способы. Так, в тригонометрии Ф. cosx определяется как проекция единичного вектора на ось, образующую с ним угол в x радианов, а Ф.  в алгебре как число, квадрат которого равен x . Возможность задания этих Ф. при помощи аналитических формул устанавливается лишь при более углублённом их изучении. Упомянем ещё о т. н. функции Дирихле y(x ), равной 1, если x — число рациональное, и 0, если x — число иррациональное. Впервые эта Ф. была введена этим «бесформульным» способом, но впоследствии для неё была найдена и аналитическая формула:

.

  Существуют, однако, и такие Ф., которые не представимы в описанном выше смысле никакой аналитической формулой. Такими Ф., во всяком случае, являются т. н. неизмеримые по Лебегу Ф.

  К Ф., заданным одной аналитической формулой, примыкают Ф., которые на разных частях своей области задания определены различными формулами. Такова, например, Ф. f (x ), заданная так: f (x ) = x , если x £ 1, и f (x ) = x² , если x > 1. Приведённое выше «бесформульное» задание функции Дирихле y(x ) также принадлежит к этому типу.

  Ф. y = f (x ) иногда задаётся своим графиком, т. е. множеством тех точек (x , у ) плоскости, у которых x принадлежит области задания Ф., а у = f (x ). В прикладных вопросах часто довольствуются таким заданием Ф., когда её график просто начерчен на плоскости (рис. ), а значения Ф. снимаются с чертежа. Так, например, верхние слои атмосферы можно изучать при помощи