шаров-зондов, несущих самопишущие приборы, непосредственно доставляющие кривые изменения температуры, давления и т. п.
Чтобы задание Ф. графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, однако, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определенно. Поэтому для графического задания Ф. должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию Ф., однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек).
В технике и естествознании часто встречается следующая ситуация: зависимость между величинами x и у заведомо существует, но неизвестна. Тогда производят ряд экспериментов, в каждом из которых удаётся измерить одно из значений величины x и соответствующее ему значение у . В результате составляется более или менее обширная таблица, сопоставляющая измеренным значениям x соответствующие значения у . Тогда говорят о «табличном» задании Ф. Нахождение для такой Ф. аналитической формулы (см. Интерполяция ) не раз представляло собой важное научное открытие (например, открытие Р. Бойлем и Э. Мариоттом формулы pv = С , связывающей давление и объём массы газа). Табличное задание Ф. с чисто математической точки зрения вполне корректно, если под областью задания Ф. понимать именно то множество значений x , которое внесено в таблицу, и табличные значения у считать абсолютно точными. Кроме Ф. одного аргумента, о которых шла речь, в математике и её приложениях, большое значение имеют Ф. нескольких аргументов. Пусть, например, каждой системе значений трёх переменных x , у , z соответствует определённое значение четвёртой переменной u . Тогда говорят, что u есть (однозначная) Ф. аргументов x , у , z , и пишут u = f (x , у , z ). Формулы u = x + 2y , u = (x + у ) sinz дают примеры аналитического задания Ф. двух и трёх аргументов. Аналогично определяются и многозначные Ф. нескольких аргументов. Ф. двух аргументов z = f (x , y ) можно задать и при помощи её графика, т. е. множества точек (x , у , z ) пространства, у которых (x , у ) принадлежит области задания Ф., а z = f (x , у ). В простейших случаях таким графиком служит некоторая поверхность.
Развитие математики в 19 и 20 вв. привело к необходимости дальнейшего обобщения понятия Ф., заключавшегося в перенесении этого понятия с переменных действительных чисел сначала на переменные комплексные числа, а затем и на переменные математические объекты любой природы. Например, если каждому кругу x плоскости соотнести его площадь у , то у будет функцией x , хотя x уже не число, а геометрическая фигура. Точно так же, если каждому шару x трёхмерного пространства соотнести его центр у , то здесь уже ни x , ни y не будут числами.
Общее определение однозначной Ф. можно сформулировать так: пусть А = {x } и В = {у } — два непустых множества, составленных из элементов любой природы, и М — множество упорядоченных пар (x , у ) (где x Î А , у Î В ) такое, что каждый элемент x Î А входит в одну и только одну пару из М ; тогда М задаёт на А функцию y = f
