Большая Советская Энциклопедия (ЭЙ)

— число вершин, a₁ — число рёбер и a₂ — число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. Гомеоморфизм ) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).

  Э. х. произвольного комплекса есть число , где n — размерность комплекса, a_o — число его вершин, a₁ — число его рёбер, вообще a_k есть число входящих в комплекс k -мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна  (формула Эйлера—Пуанкаре), где p_k есть k -мерное число Бетти данного комплекса (см. Топология ). Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).

  Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.— Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии. 2 изд., М., 1976.

Эйлеровы интегралы

Э'йлеровы интегра'лы, интегралы вида

 (1)

  (Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730—31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом ) и

 (2)

  [Э. и. второго рода, или гамма-функция , рассмотренная Л. Эйлером в 1729—30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А. Лежандром . Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты  и факториал n !, ибо, если а и b — натуральные числа, то

, Г (а +1) = а !

  Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если а и b положительны, и перестают существовать, если а и b отрицательны. Имеют место соотношения

В (a , b ) = B (b , a ), ;

последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов а и b . Э. и. встречаются во многих вопросах теории специальных функций , к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также интеграл

выражающий т. н. гипергеометрическую функцию .

  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.— Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.

Эйлеровы углы

Э'йлеровы углы', углы j, q, y определяющие положение прямоугольной декартовой системы координат OXYZ относительно другой прямоугольной декартовой системы координат Oxyz с той же ориентацией (см. рис.