Новый Мир ( № 12 2007)

    7    4

    23      9

  111    16

      1    25

      4    36

      9    16

      7    64

      25     &nbsp81

      36    100

      49    121

      64    144

      81    169

    100    196

    121    225

    144    256...

    169...

Читатель да благоволит изобразить на листе бумаги любые два отрезка и, в качестве несложного упражнения, убедиться, что множество точек, расположенных на первом отрезке, и множество точек, расположенных на втором отрезке, являются эквивалентными.

Но не окажутся ли все вообще бесконечные множества эквивалентны друг другу? Великое открытие Кантора состояло в том, что он обнаружил неэквивалентные бесконечности. Так, одна из его замечательных теорем гласила, что множество всех точек прямой и множество всех натуральных чисел неэквивалентны. Оказалось, что наиболее знакомые нам бесконечные множества подразделяются на два основных рода, так что множества первого рода эквивалентны друг другу и множества второго рода эквивалентны друг другу, а множества разных родов друг другу не эквивалентны. Множества первого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любая бесконечная часть натурального ряда (например, множество всех квадратов), множество всех дробей, множество всех мыслимых комбинаций (как ведущих к выигрышу, так и проигрышных) пластинок из четырёхчленого набора, заявленного в игре предыдущей главы. Множества второй категории называются континуальными; таковы множество всех точек прямой, всех точек плоскости, всех окружностей, множество всех частей натурального ряда. Бывают и такие бесконечные множества, которые не являются ни счётными, ни континуальными, но в “математическом быту” такие множества почти не встречаются.

Позволим себе теперь рассматривать и другие числа, помимо натуральных, — те, о которых говорилось в главе 4 “Длины и числа”. Хотя каждое рациональное число может быть записано посредством многих дробей, а более точно — бесконечного их количества, множество рациональных чисел оказывается эквивалентным множеству дробей, то есть счётным. С другой стороны, как известно из средней школы, каждому действительному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на прямой, и при этом каждая точка будет сопоставлена ровно с одним числом, своей координатой; тем самым обнаруживается, что множество точек прямой и множество действительных чисел эквивалентны и, следовательно, множество действительных чисел континуально. Как было сообщено в предыдущем абзаце, континуальность и счётность не могут сочетаться в одном и том же множестве. Поэтому множество рациональных чисел не может совпасть с множеством всех действительных чисел, а отсюда следует, что существуют такие действительные числа, которые не являются рациональными; их называют иррациональными . Таким образом, сам факт существования иррациональных чисел, без указания какого-либо конкретного иррационального числа, может быть получен из совершенно общих рассуждений.

И ещё об одном виде чисел — о так называемых алгебраических числах . Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число ноль, а левая есть многочлен какой- то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (при иксе в квадрате, при иксе, свободный член) суть целые числа. Всякое