Новый Мир ( № 12 2007)

указывают, что хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.

Выдающийся российский математик Павел Сергеевич Александров (1896 — 1982) писал: “Думаю, что во второй половине XIX века не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор”.

Учение о бесконечном оказалось настолько трудным, что привело его автора к тяжёлой нервной болезни. В 1884 году у Кантора начались приступы депрессии, а с 1897 года он уже не публиковал научных работ. С 1899 года Кантор становится пациентом нервных санаториев, а потом и клиник, проводя в них всё больше и больше времени. В одной из таких клиник он и скончался. Любезному читателю это не грозит, поскольку мы ограничимся началами.

Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после своего осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не дболжно смущаться тем, что в выражении “равенство количеств” слово “количество” уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, даже вообще можно не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых располагает стадом коз, а другой — стадом овец. Они хотят обменяться своими стадами, но при условии, что стада равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца — ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств.

Пример из первобытной жизни приводит нас к важнейшему понятию эквивалентности множеств . Говорят, что два множества эквивалентны, если можно так сопоставить друг с другом элементы первого множества и элементы второго множества, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Наши скотоводы как раз и установили эквивалентность своих стад. А синьор Сальвиати установил эквивалентность множества всех квадратов и множества всех чисел; эту эквивалентность можно наглядно показать посредством следующей таблицы:

    1

    1    4

    2    9

    3    16

      4    25

      5    36

      6    49

      7    64

      8    81

      9    100

      10    121

      11    144

      12    169

      13    196

      14    225

      15    256...

      16...

Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являюшихся, — ну, скажем, 7, 23 и 111. Следующая таблица показывает эквивалентность множества квадратов и расширенного множества, состоящего из всех квадратов и трёх указанных не-квадратов:

    1