пространственных и временных интервалов. Утверждение, что ряд ?1, ?2, ?3,…, ?n завершится, логически противоречиво, если n не ограничено. Аналогичным образом, необычная вычислительная машина Германа Вейля никогда не сможет завершить вычисления в какой-то момент времени из-за неограниченного числа шагов процесса пересчета множества натуральных чисел. Можно, используя понятие предела, просуммировать упомянутый ряд и получить единицу, или, вводя трансфинитные числа, допустить выполнение в ходе вычислений количества шагов, равного первому бесконечному числу ?. Такие построения уже будут непротиворечивыми. Но они обладают существенным, на наш взгляд, изъяном.
Осмысливая принципы, лежащие в основе теории множеств (которая может, как известно, рассматриваться в качестве фундамента современной математики), Дж. Р. Шенфилд указывает на “следующий фундаментальный вопрос: если дана совокупность S шагов, то существует ли шаг, следующий за каждым шагом из S?” [10] Рассматривая случаи, когда S состоит из единственного шага или из бесконечной последовательности шагов Sn, Si,…, он отвечает на поставленный вопрос утвердительно: “В первых двух случаях мы отчетливо можем представить себе ситуацию, когда все шаги из S уже осуществлены” [11]. Применим эти рассуждения к апории Ахилл. Ряд ?1, ?2, ?3,…, ?n,… не может быть завершен, т. к. у него отсутствует последний элемент. Но представим себе, что Ахилл уже побывал в каждой из точек, которая следует за всеми точками бесконечного ряда и является концом пути. Движение, таким образом, завершено. Проблема, однако, в том и заключается, каким образом получилось так, что Ахилл побывал во всех точках не имеющего конца ряда ?1, ?2, ?3,…, ?n,…? Если уже “дано”, то и говорить не о чем – апория разрешается, фактически, путем постулирования наличия решения [12] .
Логически все это непротиворечиво (вопреки мнению самого Зенона). Но здесь процесс движения, содержащий, по условию задачи, бесконечное число шагов, сводится, по сути, к трем шагам: на шаге 1 вводится ряд точек ?1, ?2, ?3,…, ?n,…, на шаге 2 постулируется, что Ахилл побывал в каждой из этих точек, а на шаге 3 делается вывод о завершении движения в конечной точке, не принадлежащей рассматриваемому ряду. В результате как бы “пересчитан” ряд, упорядоченный по типу ?+1. По видимости речь идет о бесконечном по числу шагов процессе, тогда как на деле процесс при таком подходе завершается за три шага. Сказанное приобретает бoльшую наглядность, если обратиться к симметричной ситуации с апорией Дихотомия. Здесь вначале движущееся тело поместим в точке старта. Затем добавим к имеющейся точке старта совокупность точек, упорядоченный по типу ?*, получив тем самым линейный порядок типа 1+?*, и, на последнем шаге, постулируем, что тело побывало в каждой из точек ряда ?*. Значит, движение успешно началось, хотя между точкой старта и любой из последующих точек лежит бесконечное множество промежуточных точек. Снова перед нами процесс из трех шагов, и снова вопрос о принципиальной возможности пересчета бесконечного порядкового типа 1+?* обходится путем постулирования преодоления бесконечности за один шаг.
Легко представить себе совокупности, упорядоченные по типам ?+1 и 1+?*, в качестве данностей. Но вообразить процесс пошагового получения этих совокупностей элемент за элементом, в соответствии с порядком на них, логически невозможно. Неизбежно на каком-то шаге либо а) будет нарушен порядок прохождения элементов (наряду с движениями от предыдущих точек к последующим придется вводить скачки от последующих точек к предыдущим), либо б) потребуется постулировать переход не от элемента к элементу, а от совокупности элементов к элементу или наоборот. Первая альтернатива ускользнула от внимания исследователей и потому требует особого разбора, который будет проведен в дальнейшем.
Что касается второй альтернативы, то именно она реализуется в рассмотренных псевдорешениях парадоксов движения. Между тем, в апориях Зенона движение понимается как переход от точки к точке, но ни в коем случае не как переход от совокупности точек к точке или обратно. Проблема в том, можно ли, двигаясь от одной точки пути к другой, завершить движение, и в том, можно ли, попав в какую-то точку, найти другую точку, куда нужно попасть на следующем шаге, что необходимо для начала процесса движения. Если же вместо переходов от точки к точке в процессе движения нам рекомендуют переходить от множества точек к отдельным точкам или от отдельных точек к множествам точек, то поставленная проблема подменяется другими. Кроме того, если в процессе движения мы должны посетить бесконечное количество точек, то и сам этот процесс неизбежно оказывается содержащим бесконечное число шагов. Как было показано, переходы от совокупностей точек к точкам и обратно могут совершаться за конечную последовательность шагов. Просто на одном из этих шагов обязательно будет использована бесконечная совокупность точек, введенная как актуальная данность, но не полученная в процессе поэтапного конструирования структура. В этом и заключается изъян предлагаемого разрешения апорий.
Получается в итоге, что трудности, связанные с апориями Ахилл и Дихотомия, остались не преодоленными. Другое дело апория Стадий, которая оставляет надежду на положительное разрешение проблемы движения в дискретном случае. Однако у Зенона есть апория против движения, которая вообще не связана ни с трудностями оперирования с бесконечностью, ни с вопросом о непрерывности или дискретности пространства и времени. Это апория Летящая стрела. Формулируется она очень просто. В каждый момент полета стрела занимает определенное место и покоится в нем. В противном случае придется допустить, что за мгновение стрела способна изменить свое местоположение, что нелепо. Следовательно, движение стрелы есть сумма состояний покоя, т. е. стрела не движется.
Суть затруднения в том, что, согласно Зенону, движение тела означает изменение его местоположения. За мгновение времени никаких изменений в местоположении тел произойти не может. Но поскольку время слагается из мгновений, в каждой из которых все тела покоятся, движения нет. Отметим, что это рассуждение нельзя опровергнуть ссылкой на то, что движущееся тело обладает отличной от нуля мгновенной скоростью, как это иногда думают [13]. Действительно, рассмотрим следующий рисунок. Видно, что более высокая скорость бега Ахилла по сравнению с черепахой отражена меньшим углом наклона графика его бега к оси S. Угол наклона графика связан, как известно, с мгновенной скоростью, значение которой определяется тангенсом угла касательной к графику функции. Однако все это не отменяет того факта, что в любой момент времени t Ахилл и черепаха находятся в строго определенных точках пути. В этих точках они вполне неподвижны. Вся картина их взаимного расположения во времени и пространстве дана сразу, целиком. И ничто в этой картине не движется, вся она складывается из состояний покоя в каждой точке графиков.
Рассмотренное представление движения имеет статический характер. Оно полностью подобно изображению движения при помощи кинематографии. Как известно, изображение движения на киноленте складывается из отдельных кадров, на которых все неподвижно. Но если прокрутить эту ленту со скоростью 24 кадра в секунду, возникает иллюзия движения. Теперь представим себе, что количество кадров ленты несчетно, и что все они упорядочены так же, как и действительные числа, в результате чего каждому моменту времени соответствует один кадр. В итоге мы получим как раз ту картину движения, которая сводит его к сумме состояний покоя (отдельных кадров), расположенных непрерывным образом (в отличие от реальных кинолент). Но именно так и описывается движение в современной физике. Выдающиеся ученые чувствовали это. Например, такой тонкий аналитик, как Б. Рассел, фактически прямо
