Кибернетика или управление и связь в животном и машине

значений автокорреляции (или, вернее, выборочной автокорреляции за большое время включения А). На рис. 9 показан график одной реальной автокорреляции такого рода[191]. Заметим, что здесь показана лишь половина кривой, так как автокорреляция для отрицательных времен совпадает с автокорреляцией для положительных времен, по крайней мере, в случае, когда мы отыскиваем автокорреляцию действительной кривой.

 

Рис. 9. Автокорреляция

Заметим, что подобные автокорреляционные кривые применялись уже много лет в оптике и что прибором, с помощью которого их получали, был интерферометр Майкельсона (рис. 10). Интерферометр Майкельсона посредством системы зеркал и линз разделяет световой луч на две части, которые посылаются по путям разной длины и затем вновь соединяются в один луч. Различные длины путей вызывают различные задержки во [c.273] времени, и результирующий луч будет равен сумме двух отражений входящего луча, которые можно опять обозначить через f(t) и f(t +?). Если измерить чувствительным фотометром силу луча, то его показание будет пропорционально квадрату суммы f(t)+ f (t+?) и, следовательно, должно содержать член, пропорциональный автокорреляции. Другими словами, яркость интерференционных полос даст нам автокорреляцию (с точностью до линейного преобразования).

 

Рис. 10. Интерферометр Майкельсона

Все это неявно содержалось в работе Майкельсона. Нетрудно видеть, что при выполнении преобразования Фурье над интерференционными полосами интерферометр дает нам энергетический спектр света и тем самым по существу является спектрометром. Более того, это самый точный из известных нам типов спектрометров.

Спектрометр такого типа получил должное признание лишь в последние годы. Мне говорили, что теперь он принят в качестве важного средства прецизионных измерений. Отсюда видно, что методы обработки автокорреляционных записей, которые я сейчас изложу, применимы также в спектроскопии и позволяют довести до предела ту информацию, которую может дать спектрометр.

Рассмотрим, как получить спектр мозговой электрической волны по автокорреляции. Пусть C(t) — автокорреляция функции f (t). Тогда C(t) можно записать в виде

           (10.02)

Здесь F всегда является возрастающей или по меньшей мере неубывающей функцией от ?; мы будем называть ее интегральным спектром функции f. Вообще говоря, этот интегральный спектр состоит из трех аддитивных частей. Линейчатая часть спектра возрастает лишь на счетном множестве точек. После ее исключения останется непрерывный спектр, равный, в свою очередь, сумме двух частей: одна из них возрастает только на множестве меры нуль, а другая абсолютно непрерывна и является интегралом положительной интегрируемой функции.

Будем впредь полагать, что первые две части спектра: дискретная часть и непрерывная часть, возрастающая [c.274] на множестве меры нуль, — отсутствуют. В этом случае можно написать

           (10.03)

где ? (?) — спектральная плотность. Если ? (?) принадлежит к классу Лебега L², то можно написать

           (10.04)

Как видно по автокорреляционной кривой мозговых волн, преобладающая часть мощности спектра сосредоточена в окрестности частоты 10 гц. В таком случае ? (?) будет иметь форму, подобную следующей диаграмме:

 

Два пика около 10 и —10 суть зеркальные изображения друг друга.

Известны различные способы численного выполнения разложения Фурье, включая применение интегрирующих приборов и цифровые вычислительные процессы. В обоих случаях неудобством является то, что главные пики расположены около 10 и —10, а не около 0. Но существуют способы переноса гармонического анализа в окрестность нулевой частоты, которые весьма сокращают объем работы. Заметим, что

           (10.05)

Другими словами, если умножить С(t) на е^{20? it}, то новый гармонический анализ даст нам полосу вблизи нулевой частоты и другую полосу вблизи частоты +20. Таким образом, если произвести такое умножение и исключить полосу вблизи +20 методами усреднения, равносильными применению волнового фильтра, то мы сведем наш гармонический анализ к гармоническому анализу в окрестности нулевой частоты. [c.275]

Но

           (10.06)

Следовательно, действительная и мнимая части функции С (t)е^20?it равны соответственно

С(t) cos 20?t и iС(t) sin 20?t.

Частоты в окрестности +20 можно исключить, пропустив эти две функции через фильтр нижних частот, что равносильно усреднению по интервалу в одну двадцатую секунды или более.

Пусть мы анализируем кривую, у которой бо?льшая часть мощности сосредоточена вблизи частоты 10 гц. Умножив эту кривую на косинус или синус от 20?t, получим кривую, являющуюся суммой двух составляющих: одна из них ведет себя локально примерно так:

 

а другая — примерно так:

 

Усреднив вторую кривую по интервалу в 0,1 сек, получим нуль. Усреднив первую кривую, получим половину максимальной высоты. Таким образом, сглаживая С (t) cos 20?t и iС (t) sin 20?t, мы получим хорошие приближения соответственно к действительной и мнимой части некоторой функции, имеющей все свои частоты в окрестности нуля, и эта функция будет обладать таким же распределением частоты вокруг нуля, какое одна часть спектра кривой C(t) имела вокруг 10.

Обозначим теперь через K₁ (t) результат сглаживания произведения С (t) cos 20?t, а через K₂(t) — результат сглаживания произведения С(t) sin 20?t. Мы хотим найти [c.276]

           (10.07)

Выражение (10.07) должно быть действительным, так как это спектр. Следовательно, оно будет равно

           (10.08)

Другими словами, если найти косинус-преобразование от K₁ и синус-преобразование от K₂ и сложить их друг с другом, то мы получим смещенный спектр функции f. Можно показать, что