Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

так как убыток ограничен ценой опциона, а возможная прибыль не ограничена. Между окном Х стандартных отклонений, которое с каждым днем становится все шире и шире (хотя со все более медленной скоростью), и премией опциона (паде­ние которой с каждым днем происходит все быстрее и быстрее) происходит «пе­ ретягивание каната».

В первый день математическое ожидание максимально, хотя оно может и не быть положительным. Другими словами, математическое ожидание (арифмети­ческое и геометрическое) самое большое после того, как вы продержали опцион 1 день (оно в действительности самое большое в тот момент, когда вы приобретаете опцион, и далее постепенно понижается, но мы рассматриваем дискретные вели­чины). Каждый последующий день ожидание понижается, но все медленнее и медленнее. Следующая таблица иллюстрирует понижение ожидания по длинной позиции опциона. Этот пример уже упоминался в данной главе. Колл-опцион имеет цену исполнения 100, базовый инструмент стоит также 100; дата истечения — 911220. Волатильность составляет 20%, а сегодняшняя дата 911104. Мы используем фор­мулу товарных опционов Блэка (Н определяется из уравнения (5.07), R = 5%) и 260,8875-дневный год. Возьмем 8 стандартных отклонений для расчета оптималь­ного f, а минимальный шаг тика примем равным 0,1.

Значения столбца «AHPR» являются средними арифметическими HPR (расчет будет рассмотрен позднее в этой главе), a GHPR является средним геометричес­ким HPR. Столбец «f» представляет оптимальные f, из которых находятся значе­ния столбцов AHPR и GHPR. Арифметическое математическое ожидание равно AHPR - 1, а геометрическое математическое ожидание равно GHPR - 1. Отметьте, что наибольшие математические ожидания (необязательно поло­жительные ожидания, как в этом примере) возникают в день после приобретения опциона. Каждый последующий день ожидания уменьшаются, причем скорость уменьшения с течением времени замедляется. После 911106 математические ожидания (HPR - 1) становятся отрицательными. ' Если бы нам пришлось торговать по этой информации, мы могли бы войти сегодня (911104) и выйти при закрытии завтра (911105). Справедливая цена оп­циона равна 2,861. Если мы допустим, что он котируется по цене 100 долларов за полный пункт, цена опциона составит 2,861 * $100 ^ $286,10. Разделив эту цену на оптимальное f= 0,0806, мы найдем, что следует торговать одним опци­оном на каждые 3549,63 доллара на балансе счета. Если бы мы держали опцион до закрытия 911106 (последний день), когда он все еще имеет положительное математическое ожидание, то открыв позицию сегодня, используя для дня вы­хода (911106) соответствующее оптимальное f= 0,0016, торговали бы 1 контрак­том на каждые 178 812,50 доллара на балансе счета ($286,10 / 0,0016). Отметьте, что при этом ожидание намного ниже, чем в случае торговли 1 контрактом на каждые 3549,63 доллара на балансе счета и выхода по цене закрытия завтра (911105).

Скорость изменения между двумя функциями: уменьшением премии с течением времени и расширением окна Х стандартных отклонений, может создать положи­тельное математическое ожидание для длинной позиции по опциону. Это ожидание имеет наибольшее значение в момент открытия позиции и после этого понижается с уменьшающейся скоростью. Таким образом, справедливо оцененный опцион (на основе вышеизложенных моделей) может иметь положительное математическое ожидание, если позицию по нему закрыть в начале периода падения премии. В следующей таблице рассматривается тот же колл-опцион с ценой исполнения 100, но на этот раз используются окна различного размера (различные значения стандартных отклонений):

Число стандартных отклонений
	2	3	5	8	10
AHPR	1,000102	1,000379	1,000409	1,000409	1,000409
GHPR	1,000047	1,00018	1,000195	1,000195	1,000195
f	0,043989	0,0781	0,0806	0,0806	0,0806
Дата выхода	911105	911105	911106	911106	911106

AHPR и GHPR — это арифметические и геометрические HPR при оптимальном f для дня закрытия 911105 (самая благоприятная дата выхода, так как она имеет наивысшие AHPR и GHPR). f соответствует оптимальному f для 911105. Значения строки «Дата выхода» — это последние даты, когда еще существует положитель­ное ожидание (т.е. когда AHPR и GHPR больше 1). Интересно отметить, что AHPR, GHPR, f и Дата выхода сходятся к опреде­ленным значениям, когда мы увеличиваем число стандартных отклонений.