Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

активности, меньшей наполо­вину. Однако к 16 сделке счет с полным f будет в 2,565777865 (1,06066 ^{^} 16) раза больше вашего первоначального счета. Полное f продолжает увеличивать счет. К 100 сделке ваш счет с половиной f увеличится в 88,28796546 раз, но полное f уве­личит его в 361,093016 раз!

Единственный минус торговли с дробным f— это большее время, необходимое для достижения определенной цели. Все дело во времени. Мы можем вложить деньги в казначейские обязательства и достичь-таки заданной цели через опреде­ленное время с минимальными промежуточными падениями баланса и диспер­сией! Время — это суть проблемы.

Сравнение торговых систем

Мы увидели, что две торговые системы можно сравнивать на основе их сред­них геометрических при соответствующих оптимальных f. Далее, мы можем сравнивать системы, основываясь на том, насколько высокими являются их оптимальные f, поскольку более высокие оптимальные f соответствуют более рискованным системам. Это связано с тем, что исторический проигрыш мо­жет понизить счет, по крайней мере, на процент f. Поэтому существуют две основные величины для сравнения систем: среднее геометрическое при опти­мальном f, где более высокое среднее геометрическое предпочтительнее, и само оптимальное f, где более низкое оптимальное f лучше. Таким образом, вместо одной величины для измерения эффективности системы мы получаем две; эффективность должна измеряться в двухмерном пространстве, где одна ось является средним геометрическим, а другая — значением f. Чем выше сред­нее геометрическое при оптимальном f, тем лучше система. Также чем ниже оп­тимальное f, тем лучше система.

Среднее геометрическое ничего не скажет нам о проигрыше. Высокое среднее геометрическое не означает, что проигрыш системы большой (или, наоборот, не­значительный). Среднее геометрическое имеет отношение только к прибыли. Оптимальное f является мерой минимального ожидаемого исторического проиг­рыша как процентное понижение баланса. Более высокое оптимальное f не гово­рит о более высоком (или низком) доходе. Мы можем также использовать эти по­ложения для сравнения определенной системы при дробном значении f с другой системой при полном значении оптимального f. При рассмотрении систем вам следует учитывать, насколько высоки средние геометрические и каковы оптимальные f. Например, у нас есть система А, которая имеет среднее геометрическое 1,05 и оптимальное f= 0,8. Также у нас есть система В, которая имеет среднее геометрическое 1,025 и оптимальное f=0,4. Система А при половине уровня f будет иметь то же минимальное историческое падение баланса худшего случая (проигрыш) в 40%, как и система В при полном f, но среднее гео­метрическое системы А при половине f вce равно будет выше, чем среднее геометри­ческое системы В при полном значении f. Поэтому система А лучше системы В. «Минутку, — можете возразить вы, — разве не является самым важным то об­ стоятельство, что среднее геометрическое больше 1, и системе необходимо быть только минимально прибыльной, чтобы (посредством грамотного управления деньгами) заработать желаемую сумму!» Так оно и есть. Скорость, с которой вы зарабатываете деньги, является функцией среднего геометрического на уровне используемого f. Ожидаемая дисперсия зависит от того, насколько большое f вы используете. Вы, безусловно, должны иметь систему с оптимальным f и со сред­ним геометрическим, большим 1 (то есть с положительным математическим ожи­данием). С такой системой вы можете заработать практически любую сумму через соответствующее количество сделок. Скорость роста (количество сделок, необхо­димое для достижения определенной цели) зависит от среднего геометрического при используемом значении f. Дисперсия на пути к этой цели также является функцией используемого значения f. Хотя важность среднего геометрического и применяемого f вторична по срав­ нению с тем фактом, что вы должны иметь положительное математическое ожи­дание, эти величины действительно полезны при сравнении двух систем или ме­тодов, которые имеют положительное математическое ожидание и равную уве­ренность в их работе в будущем.

Слишком большая чувствительность к величине наибольшего проигрыша

Недостаток подхода, основанного на оптимальном f, заключается в том, что f слишком зависит от величины наибольшего проигрыша, что является серьезной проблемой для многих трейдеров, и они доказывают, что количество контрактов, которые вы открываете сегодня, не должно быть функцией одной неудачной сделки в прошлом.

Для устранения этой сверхчувствительности к наибольшему проигрышу были разработаны разнообразные алгоритмы. Многие из этих алгоритмов заключаются в изменении наибольшего проигрыша в большую или меньшую сторону, чтобы сделать наибольший проигрыш функцией текущей волатильности рынка. Эта связь, как утверждают некоторые, квадратичная, то есть абсолютное значение наибольшего проигрыша, по всей видимости, увеличивается с большей скорос­тью, чем волатильность. Волатильность чаще всего определяется как средний дневной диапазон цен за последние несколько недель или как среднее абсолют­ное дневное изменение за последние несколько недель. Однако об этой зависи­мости нельзя говорить с полной уверенностью. То, что волатильность сегодня со­ставляет X, не означает, что наш наибольший проигрыш будет Х ^ Y. Можно гово­рить лишь о том, что он обычно где-то около Х ^ Y. Если бы мы могли заранее определить сегодняшний наибольший проигрыш, то, безусловно, могли бы лучше использовать методы управления деньгами[5]. Это тот са­мый случай, когда мы должны рассмотреть сценарий худшего случая и отталкиваться от него. Проблема состоит в том, что мы не знаем точно, каким будет сегодня наи­ больший проигрыш. Алгоритмы, которые могут спрогнозировать это, не очень эф­фективны, так как они часто дают ошибочные результаты.

Предположим, в течение торгового дня произошло событие, вызвавшее на рынке шок, и до этого шока волатильность была достаточно низкой. За­тем рынок находился не на вашей стороне несколько следующих дней. Или, допустим, на следующий день рынок открылся с огромным разрывом не в вашу пользу. Эти события так же стары, как сама торговля товарами и акци­ями. Они могут произойти и происходят, и о них не всегда предупреждает заранее повышающаяся волатильность. Таким образом, лучше не «сокращать» ваш наибольший исторический про­игрыш для отражения текущего рынка с низкой волатильностью. Более того, есть реальная возможность испытать в будущем проигрыш больший, чем наибольший исто­рический проигрыш. Наибольший проигрыш, который вы получили в прошлом, мо­жет оказаться наибольшим проигрышем, который вы испытаете сегодня, и не зави­сеть от текущей волатильности[6]. Проблема состоит в том, что с эмпирической точки зрения f, оптимальное в прошлом, является функцией наибольшего проигрыша в прошлом. С этим ниче­го не поделаешь. Однако мы увидим, когда перейдем к параметрическим мето­дам, что можно предусмотреть больший проигрыш в будущем. При этом мы будем готовы к появлению почти неизбежного большого проигрыша. Вместо под­гонки наибольшего проигрыша к текущей ситуации на рынке, чтобы эмпиричес­кое оптимальное f отражало нынешнюю ситуацию, лучше изучить параметричес­ кие методы. Следующий метод является возможным решением данной проблемы и может применяться вне зависимости от того, рассчитываем мы оптимальное f эмпирически или параметрически.

Приведение оптимального f к текущим ценам

Оптимальное f даст наибольший геометрический рост при большом количестве сде­лок. Это математический факт. Рассмотрим гипотетический поток сделок:

Из этого потока сделок мы найдем, что оптимальное f= 0,17 (ставка 1 единицы на каждые 29,41 доллара на балансе). Такой подход при данном потоке даст нам наи­больший рост счета.

Представьте себе, что этот поток выражает прибыли и убытки при торговле одной акцией. Оптимально следует покупать одну акцию на каждые 29,41 доллара на балансе счета, несмотря на текущую цену акции. Предположим, что текущая цена акции равна 100 долларам. Более того, допустим, что при первых двух сдел­ках акция стоила 20 долларов, а при двух последних сделках — 50 долларов.

Для наших первых двух сделок, которые произошли при цене акции в 20 дол­ларов, выигрыш в 2 доллара соответствует выигрышу в 10%, а проигрыш 3 долла­ров соответствует проигрышу в 15%. Для двух последних сделок при цене акции 50 долларов выигрыш 10 долларов соответствует выигрышу в 20%, а проигрыш в 5 долларов соответствует проигрышу в 10%.

Формулы преобразования необработанных торговых P&L в процент вы­игрыша и проигрыша для