Живой кристалл

2?:

?x ^. ?р_х ? h/2? = ђ

Откуда следует это утверждение? Оно — изначальный, фундаментальный закон природы, которая устроена так, а не иначе. Оно, говоря философскими терминами, отражение объективной реальности. Вопрос «откуда» в данном случае задавать не следует, как не следовало спрашивать, почему энергия маятника квантуется. Впрочем, и принцип неопределенности, и квантование энергии маятника — это две стороны одного и того же закона природы. И Планк, и Эйнштейн, и Гейзенберг потому и велики, что сумели, наблюдая природу, подсмотреть или выпытать у нее фундаментальные законы, которые природа соблюдает. Или, быть может, догадаться о них, почувствовать, что они должны существовать.

То обстоятельство, что импульс атома в узле кристаллической решетки, т. е. в той позиции, где в соответствии со структурой кристалла атом расположен, не может быть равен нулю (потому что нуль — величина точная, а импульс может определяться с некоторой неточностью!), означает, что атом должен двигаться, а так как факт существования кристалла означает, что атом должен находиться неподалеку от узла решетки и, следовательно, ему не позволено смещаться на неограниченные расстояния, то его движение должно быть колебательным.

Итак, один из непременных признаков жизни кристалла — нулевые колебания составляющих его атомов. Нам, живущим в мире «нормальных условий» и «классических» проявлений законов природы, легко воспринять факт существования тепловых колебаний: более высокая температура — колебания активнее, при определенной температуре колебания могут стать настолько активными, что кристалл будет вынужден расплавиться. Тепловые колебания — еще со школьных лет явление настолько привычное, что кажется понятным и тогда, когда истинного понимания нет. Привычное, как правило, не вызывает вопросов, а, следовательно, молчаливо предполагается понятным. А вот нулевые колебания — за пределами привычного. Приблизимся к ним, попытаемся освоиться с ними, оценить величины, которые характеризуют этот вид колебаний.

Вначале о частоте нулевых колебаний. Здесь все ясно: она та же, что и при тепловых колебаниях. Иной она быть не может, так как вне зависимости от причины, вызывающей колебания, атом колеблется в определенной среде, обладающей определенными свойствами. Характеристики среды и атома и определяют частоту его колебаний. Эту частоту легко вычислить, так как ранее мы уже находили ?₀:

?₀= 1/?₀ ? (аЕ/т)^1/2.

Теперь об энергии нулевых колебаний W_н. Как следует из квантовой механики (поверьте!),

W_н = h?₀/2.

Видимо, читатель хочет спросить: где источник этой энергии нулевых колебаний, которые существуют всегда, пока кристалл есть кристалл, за счет какого горючего она сохраняется? Сегодня не следует этого спрашивать! Нет такого горючего! Эта энергия — необходимое условие существования вещества, ее нельзя позаимствовать у данного вещества и перенести в другое. Философ, со свойственной ему склонностью к трудным словам, сказал бы так: она — непременный атрибут материи, она — форма существования материи, она существует, поскольку существует материя. Мы уже не первый раз встречаемся с тем, что не любая фраза, завершающаяся вопросительным знаком, формулирует вопрос, на который можно и нужно отвечать. Вот так! А вот вопрос о том, велика или мала величина энергии W_н (разумеется, по сравнению с какой-либо иной характерной энергией кристалла), — это вопрос! Его следует задать, и на него следует ответить.

Для различных кристаллов величина энергии нулевых колебаний, естественно, оказывается различной в меру отличия величины ?₀. Изменяется она, однако, в не очень широком интервале значений. Например, для кристалла водорода, который плавится при Т = 14 К, энергия W_н ? 10^-14 эрг, а для кристалла золота, который плавится при температуре почти в сто раз более высокой (Т = 1336 К), энергия

W_н ? 3,5• 10^-14 эрг. Обладая близкими энергиями нулевых колебаний, эти кристаллы очень существенно отличаются своими характеристиками, например энергиями связи между атомами. Эти энергии известны: Wн₂ ? 10^-14 эрг, W_Au ? 10^-12 эрг. Если сравнить энергии нулевых колебаний с энергиями связи, то окажется, что в случае золота энергия нулевых колебаний составляет всего около трех процентов от энергии связи, а в случае водорода они очень близки. Так как энергия нулевых колебаний от температуры не зависит, а энергия тепловых колебаний с температурой возрастает, то должна существовать некоторая граничная температура Т_Г, ниже которой главенствуют нулевые, а выше — тепловые колебания. Величина этой температуры может быть определена из условия

W_н = kТ_Г, т. е. Т_Г = W_н /k. Легко вычислить, что Т_Гн₂ = 73 К, а Т_ГAu = 255 К. Кристалл водорода раньше расплавится, чем перейдет в область температур, где главенствуют тепловые колебания, а кристалл золота уже при комнатной температуре, которая ниже температуры его плавления больше, чем на тысячу градусов, окажется во власти главным образом тепловых колебаний.

Если руководствоваться самыми общими соображениями, естественно предположить, что свойства кристалла должны существенно зависеть от соотношения между двумя его характерными энергиями: нулевой и энергией связи. Верное предположение, мы будем иметь случай убедиться в этом.

Об амплитуде нулевых колебаний. Ее легко можно оценить, воспользовавшись уже известным нам соотношением, которое описывает принцип неопределенности. Неопределенности в координате ?х придадим смысл амплитуды нулевых колебаний A_н, а неопределенность в импульсе ?р_х близка к среднему значению импульса частицы р_х, который связан с кинетической энергией нулевых колебаний: W_н = р_х²/2т. Таким образом,

р_х = (2тW_н ) ^1/2

Вот теперь соотношение неопределенностей можно переписать в виде

A_н =ђ / (2тW_н ) ^1/2